Упр.968 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) x^(1/3)+x^(-1/3)=4/13 (x+x^(-1));
б) x^(1/3) (x+19)^(-1/3)+x^(-1/3)=2 1/6.

Подробный ответ

а) Обозначим $$y=x^{1/3}.$$ Тогда $$x=y^3,\quad x^{-1/3}=\frac1y,\quad x^{-1}=\frac1{y^3}.$$

Получаем:

$$y+\frac1y=\frac4{13}\left(y^3+\frac1{y^3}\right).$$

Используем формулу:

$$y^3+\frac1{y^3}=\left(y+\frac1y\right)\left(y^2-1+\frac1{y^2}\right).$$

Тогда

$$y+\frac1y=\frac4{13}\left(y+\frac1y\right)\left(y^2-1+\frac1{y^2}\right).$$

Так как $$y+\frac1y\neq 0,$$ делим на него:

$$1=\frac4{13}\left(y^2-1+\frac1{y^2}\right).$$

Умножим на $$13y^2$$:

$$13y^2=4(y^4-y^2+1),$$

$$4y^4-17y^2+4=0.$$

Положим $$t=y^2.$$ Тогда

$$4t^2-17t+4=0.$$

$$D=17^2-4\cdot 4\cdot 4=225,$$

$$t_1=\frac{17-15}{8}=\frac14,\qquad t_2=\frac{17+15}{8}=4.$$

Значит,

$$y^2=\frac14 \quad \text{или} \quad y^2=4,$$

откуда

$$y=\frac12 \quad \text{или} \quad y=2.$$

Тогда

$$x=y^3=\left(\frac12\right)^3=\frac18 \quad \text{или} \quad x=2^3=8.$$

б) Обозначим

$$y=x^{1/3}(x+19)^{-1/3}=\left(\frac{x}{x+19}\right)^{1/3}.$$

Тогда

$$\frac1y=x^{-1/3}(x+19)^{1/3},$$

и уравнение принимает вид

$$y+\frac1y=2\frac16=\frac{13}{6}.$$

Умножим на $$6y$$:

$$6y^2-13y+6=0.$$

$$D=13^2-4\cdot 6\cdot 6=25,$$

$$y_1=\frac{13-5}{12}=\frac23,\qquad y_2=\frac{13+5}{12}=\frac32.$$

1) Если $$y=\frac23,$$ то

$$\left(\frac{x}{x+19}\right)^{1/3}=\frac23,$$

$$\frac{x}{x+19}=\frac{8}{27},$$

$$27x=8x+152,$$

$$19x=152,\quad x=8.$$

2) Если $$y=\frac32,$$ то

$$\left(\frac{x}{x+19}\right)^{1/3}=\frac32,$$

$$\frac{x}{x+19}=\frac{27}{8},$$

$$8x=27x+513,$$

$$-19x=513,\quad x=-27.$$

Но при $$x=-27$$ выражение $$x+19$$ отрицательно, а для действительных значений исходного уравнения нужно, чтобы $$\frac{x}{x+19}>0.$$ Поэтому это значение не подходит.