Упр.966 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) v((2x+2)/(x+2))-v((x+2)/(2x+2))=7/12; в) v(x^2-2x+9)+v(x^2-2x+16)=7;
б) v((x-4)/(2x+15))+v((2x+15)/(x-4))=5 1/5; г) v(6x/(x+1,5))+v((x+1,5)/(6x))=2,5.

Подробный ответ

а) Пусть $$y=\dfrac{2x+2}{x+2}$$, тогда
$$\sqrt{y}-\dfrac{1}{\sqrt{y}}=\dfrac{7}{12}.$$
Умножим на $$\sqrt{y}$$:
$$y-1=\dfrac{7}{12}\sqrt{y}.$$
Удобнее сразу положить $$t=\sqrt{y}$$, тогда получаем
$$t-\dfrac{1}{t}=\dfrac{7}{12}.$$
Умножим на $$12t$$:
$$12t^2-7t-12=0.$$
$$D=7^2+4\cdot 12\cdot 12=625,$$
$$t_{1,2}=\dfrac{7\pm 25}{24}.$$
Отсюда
$$t_1=-\dfrac{3}{4},\quad t_2=\dfrac{4}{3}.$$
Так как $$t=\sqrt{y}\ge 0,$$ то подходит только $$t=\dfrac{4}{3}.$$ Тогда
$$\sqrt{\dfrac{2x+2}{x+2}}=\dfrac{4}{3},$$
$$\dfrac{2x+2}{x+2}=\dfrac{16}{9}.$$
$$18x+18=16x+32,$$
$$2x=14,\quad x=7.$$
б) Пусть $$y=\dfrac{x-4}{2x+15}.$$ Тогда
$$\sqrt{y}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}=\dfrac{26}{5}.$$
Обозначим $$t=\sqrt{y}$$. Получаем
$$t+\dfrac{1}{t}=\dfrac{26}{5}.$$
Умножим на $$5t$$:
$$5t^2-26t+5=0.$$
$$D=26^2-4\cdot 5\cdot 5=576,$$
$$t_{1,2}=\dfrac{26\pm 24}{10}.$$
Следовательно,
$$t_1=\dfrac{1}{5},\quad t_2=5.$$
1) $$\sqrt{\dfrac{x-4}{2x+15}}=\dfrac{1}{5},$$ значит
$$\dfrac{x-4}{2x+15}=\dfrac{1}{25},$$
$$25x-100=2x+15,$$
$$23x=115,\quad x=5.$$
2) $$\sqrt{\dfrac{x-4}{2x+15}}=5,$$ значит
$$\dfrac{x-4}{2x+15}=25,$$
$$x-4=50x+375,$$
$$49x=-379,\quad x=-\dfrac{379}{49}=-7\dfrac{36}{49}.$$
в) Пусть $$y=x^2-2x+9.$$ Тогда
$$\sqrt{y}+\sqrt{y+7}=7.$$
Возведём в квадрат:
$$y+2\sqrt{y(y+7)}+y+7=49,$$
$$2\sqrt{y^2+7y}=42-2y,$$
$$\sqrt{y^2+7y}=21-y.$$
Снова возведём в квадрат:
$$y^2+7y=(21-y)^2,$$
$$y^2+7y=441-42y+y^2,$$
$$49y=441,\quad y=9.$$
Возвращаемся к замене:
$$x^2-2x+9=9,$$
$$x^2-2x=0,$$
$$x(x-2)=0.$$
Отсюда $$x=0$$ или $$x=2.$$
г) Пусть $$y=\dfrac{6x}{x+1{,}5}.$$ Тогда
$$\sqrt{y}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}=\dfrac{5}{2}.$$
Обозначим $$t=\sqrt{y}$$. Получаем
$$t+\dfrac{1}{t}=\dfrac{5}{2}.$$
Умножим на $$2t$$:
$$2t^2-5t+2=0.$$
$$D=5^2-4\cdot 2\cdot 2=9,$$
$$t_{1,2}=\dfrac{5\pm 3}{4}.$$
Следовательно,
$$t_1=\dfrac{1}{2},\quad t_2=2.$$
1) $$\sqrt{\dfrac{6x}{x+1{,}5}}=\dfrac{1}{2},$$ значит
$$\dfrac{6x}{x+1{,}5}=\dfrac{1}{4},$$
$$24x=x+1{,}5,$$
$$23x=1{,}5,\quad x=\dfrac{3}{46}.$$
2) $$\sqrt{\dfrac{6x}{x+1{,}5}}=2,$$ значит
$$\dfrac{6x}{x+1{,}5}=4,$$
$$6x=4x+6,$$
$$2x=6,\quad x=3.$$