Упр.964 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) v(4+xv(x^2+40))=x+2; в) v(xv(xvx))=2;
б) v(9-xv(x^2-18))=x-3; г) v(x(x(x^(1/3)))^(1/4))=4.

1. а) $$\sqrt{4+x\sqrt{x^2+40}}=x+2.$$

   Возведём в квадрат:

   $$4+x\sqrt{x^2+40}=x^2+4x+4.$$

   $$x\sqrt{x^2+40}=x^2+4x.$$

   $$x\left(\sqrt{x^2+40}-x-4\right)=0.$$

   Отсюда либо $$x=0,$$ либо

   $$\sqrt{x^2+40}=x+4.$$

   Снова возведём в квадрат:

   $$x^2+40=x^2+8x+16,$$

   $$8x=24,$$

   $$x=3.$$

   Проверка показывает, что оба значения подходят.

2. б) $$\sqrt{9-x\sqrt{x^2-18}}=x-3.$$

   Возведём в квадрат:

   $$9-x\sqrt{x^2-18}=x^2-6x+9.$$

   $$x\sqrt{x^2-18}=6x-x^2.$$

   $$x\left(\sqrt{x^2-18}-6+x\right)=0.$$

   Отсюда либо $$x=0,$$ либо

   $$\sqrt{x^2-18}=6-x.$$

   Возведём в квадрат:

   $$x^2-18=36-12x+x^2,$$

   $$12x=54,$$

   $$x=4{,}5.$$

   С учётом области определения подходит только $$x=4{,}5.$$

3. в) $$\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}=2.$$

   Представим левую часть в виде степени:

   $$x\sqrt{x\sqrt{x}}=x\sqrt{x\cdot x^{1/2}}=x\sqrt{x^{3/2}}=x\cdot x^{3/4}=x^{7/4}.$$

   Тогда

   $$\sqrt{x^{7/4}}=2,$$

   $$x^{7/8}=2,$$

   $$x=2^{8/7}.$$

4. г) $$\sqrt{x\sqrt[4]{x\sqrt[3]{x}}}=4.$$

   Преобразуем выражение под корнем:

   $$x\sqrt[3]{x}=x\cdot x^{1/3}=x^{4/3},$$

   $$\sqrt[4]{x\sqrt[3]{x}}=\sqrt[4]{x^{4/3}}=x^{1/3}.$$

   Тогда

   $$\sqrt{x\cdot x^{1/3}}=4,$$

   $$\sqrt{x^{4/3}}=4,$$

   $$x^{2/3}=4,$$

   $$x=4^{3/2}=8.$$

Ответ

а) $$0; 3$$; б) $$4{,}5$$; в) $$2^{8/7}$$; г) $$8$$.