Упр.963 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) x^(1/2)-10x^(1/4)+9=0; г) x^(1/3)-6x^(1/6)+8=0; ж) (x-2)^(1/4)+v(7-x)=3;
б) x^(1/2)-3x^(1/4)-10=0; д) (x-6)^(1/3)+v(7-x)=1; з) v(x+2)-(x-1)^(1/4)=1.
в) x^(1/3)+5x^(1/6)-24=0; е) v(3x-2)-(1-x)^(1/3)=3;

Подробный ответ

а) Пусть $$t=x^{\frac14}$$, тогда $$x^{\frac12}=t^2$$. Получаем:
$$t^2-10t+9=0$$
$$D=10^2-4\cdot 9=64$$
$$t_{1,2}=\frac{10\pm 8}{2}$$
$$t_1=1,\quad t_2=9$$
Тогда
$$x_1=1^4=1,\quad x_2=9^4=6561$$
б) Пусть $$t=x^{\frac14}$$, тогда $$x^{\frac12}=t^2$$. Имеем:
$$t^2-3t-10=0$$
$$D=3^2+4\cdot 10=49$$
$$t_{1,2}=\frac{3\pm 7}{2}$$
$$t_1=-2,\quad t_2=5$$
Так как $$t=x^{\frac14}\ge 0$$, значение $$t=-2$$ не подходит. Тогда
$$x=5^4=625$$
в) Пусть $$t=x^{\frac16}$$, тогда $$x^{\frac13}=t^2$$. Получаем:
$$t^2+5t-24=0$$
$$D=5^2+4\cdot 24=121$$
$$t_{1,2}=\frac{-5\pm 11}{2}$$
$$t_1=-8,\quad t_2=3$$
Так как $$t=x^{\frac16}\ge 0$$, берём $$t=3$$. Тогда
$$x=3^6=729$$
г) Пусть $$t=x^{\frac16}$$, тогда $$x^{\frac13}=t^2$$. Имеем:
$$t^2-6t+8=0$$
$$D=6^2-4\cdot 8=4$$
$$t_{1,2}=\frac{6\pm 2}{2}$$
$$t_1=2,\quad t_2=4$$
Тогда
$$x=2^6=64,\quad x=4^6=4096$$
д) Пусть $$u=\sqrt[3]{x-6}$$, $$v=\sqrt{7-x}$$. Тогда уравнение принимает вид:
$$u+v=1$$
Возведём в удобную форму:
$$u=1-v$$
$$u^3+v^2=1$$
Подставим $$v=1-u$$:
$$u^3+(1-u)^2=1$$
$$u^3+1-2u+u^2=1$$
$$u^3+u^2-2u=0$$
$$u(u^2+u-2)=0$$
$$u(u+2)(u-1)=0$$
Отсюда $$u=0,\,-2,\,1$$.
Проверяем:
$$u=0 \Rightarrow x=6$$
$$u=-2 \Rightarrow x=-2$$
$$u=1 \Rightarrow x=7$$
е) Пусть $$f(x)=\sqrt{3x-2}$$, $$g(x)=\sqrt[3]{1-x}$$. Тогда
$$f(x)-g(x)=3$$
Функция $$f(x)$$ возрастает, а $$g(x)$$ убывает, значит решение единственно. Проверим $$x=2$$:
$$\sqrt{3\cdot 2-2}-\sqrt[3]{1-2}=\sqrt{4}-\sqrt[3]{-1}=2-(-1)=3$$
Следовательно, $$x=2$$.
ж) Пусть $$u=\sqrt[4]{x-2}$$, $$v=\sqrt{7-x}$$. Тогда
$$u+v=3$$
То есть $$v=3-u$$, а также
$$u^4+v^2=5$$
Подставим:
$$u^4+(3-u)^2=5$$
$$u^4+9-6u+u^2=5$$
$$u^4+u^2-6u+4=0$$
$$u^4+u^2-6u+4=(u-1)^2(u^2+2u+4)$$
Так как $$u^2+2u+4>0$$ при любых $$u$$, получаем $$u=1$$.
Тогда
$$\sqrt[4]{x-2}=1$$
$$x-2=1$$
$$x=3$$
з) Пусть $$u=\sqrt{x+2}$$, $$v=\sqrt[4]{x-1}$$. Тогда
$$u-v=1$$
То есть $$u=1+v$$. Рассмотрим функции $$f(x)=\sqrt{x+2}$$ и $$g(x)=1+\sqrt[4]{x-1}$$: первая возрастает, вторая тоже возрастает, поэтому проверим подходящее значение. При $$x=2$$:
$$\sqrt{2+2}-\sqrt[4]{2-1}=2-1=1$$
Значит, $$x=2$$.