Упр.959 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

Задание учебника 2026 года. Задайте формулой функцию, обратную данной:
а) $$y=(x-1)^3$$;
б) $$y=(x-2)^4$$, где $$x\geq 2$$.
Задание учебника 2023 года. Найдите корни уравнения:
а) $$\sqrt{x-2}=x-4$$;
в) $$\sqrt{3x+1}=x-3$$;
д) $$\sqrt[3]{28-23x-x^3}=3-x$$;
б) $$\sqrt{x-2}=4-x$$;
г) $$\sqrt[3]{3x^2+8x+10}=x$$;
е) $$\sqrt[4]{6x^2-4x+1}=1-x$$.

Подробный ответ

а) $$\sqrt{x-2}=x-4$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x-2=x^2-8x+16$$
$$x^2-9x+18=0$$
$$D=9^2-4\cdot 18=81-72=9$$
$$x_{1,2}=\frac{9\pm 3}{2}$$
$$x_1=3,\quad x_2=6$$
Проверим область допустимых значений: $$x-4\ge 0,\; x\ge 4$$. Подходит только $$x=6$$.
б) $$\sqrt{x-2}=4-x$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x-2=x^2-8x+16$$
$$x^2-9x+18=0$$
$$D=9$$
$$x_{1,2}=\frac{9\pm 3}{2}$$
$$x_1=3,\quad x_2=6$$
По ОДЗ: $$4-x\ge 0,\; x\le 4$$. Подходит только $$x=3$$.
в) $$\sqrt{3x+1}=x-3$$
Возведём обе части в квадрат:
$$3x+1=x^2-6x+9$$
$$x^2-9x+8=0$$
$$D=9^2-4\cdot 8=81-32=49$$
$$x_{1,2}=\frac{9\pm 7}{2}$$
$$x_1=1,\quad x_2=8$$
По ОДЗ: $$x-3\ge 0,\; x\ge 3$$. Подходит только $$x=8$$.
г) $$\sqrt[3]{3x^2+8x+10}=x$$
Возведём обе части в куб:
$$3x^2+8x+10=x^3$$
$$x^3-3x^2-8x-10=0$$
Проверим целые корни. При $$x=5$$:
$$5^3-3\cdot 5^2-8\cdot 5-10=125-75-40-10=0$$
Значит, $$x-5$$ — множитель:
$$x^3-3x^2-8x-10=(x-5)(x^2+2x+2)$$
$$x^2+2x+2=0$$
$$D=2^2-4\cdot 2=4-8=-4<0$$
Действительных корней у этого уравнения нет, поэтому $$x=5$$.
д) $$\sqrt[3]{28-23x-x^3}=3-x$$
Возведём обе части в куб:
$$28-23x-x^3=(3-x)^3$$
$$28-23x-x^3=27-27x+9x^2-x^3$$
$$9x^2-4x-1=0$$
$$D=(-4)^2-4\cdot 9\cdot (-1)=16+36=52$$
$$x=\frac{4\pm \sqrt{52}}{18}=\frac{4\pm 2\sqrt{13}}{18}=\frac{2\pm \sqrt{13}}{9}$$
е) $$\sqrt[4]{6x^2-4x+1}=1-x$$
Возведём обе части в четвёртую степень:
$$6x^2-4x+1=(1-x)^4$$
$$6x^2-4x+1=x^4-4x^3+6x^2-4x+1$$
$$x^4-4x^3=0$$
$$x^3(x-4)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=4$$
По ОДЗ: $$1-x\ge 0,\; x\le 1$$. Подходит только $$x=0$$.