Упр.955 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

Найдите $$f(g(x))$$, если:
а) $$f(x)=x^2-4x$$, где $$x\geq 2$$, и $$g(x)=2-\sqrt{x+4}$$;
б) $$f(x)=x^2-6x+8$$, где $$x\geq 3$$, и $$g(x)=\sqrt{x-1}+3$$.
Используя свойства монотонности функций, решите уравнение:
а) $$x^5+x^3+x-5=37$$;
б) $$(4x)^{\frac{1}{5}}+x^{\frac{1}{3}}+x-2=10$$.

Подробный ответ

а) Перенесём число $$-5$$ в правую часть:

$$x^5+x^3+x=42.$$

Рассмотрим функцию $$f(x)=x^5+x^3+x.$$

Она строго возрастает на $$R$$, так как каждое слагаемое $$x^5$$, $$x^3$$ и $$x$$ возрастает на всей числовой прямой. Значит, уравнение $$f(x)=42$$ имеет не более одного корня.

Проверим число $$x=2$$:

$$2^5+2^3+2=32+8+2=42.$$

Следовательно, $$x=2$$ — корень уравнения, и он единственный.

б) Перенесём $$-2$$ в правую часть:

$$\sqrt[5]{4x}+\sqrt[3]{x}+x=12.$$

Рассмотрим функцию $$f(x)=\sqrt[5]{4x}+\sqrt[3]{x}+x.$$

Она строго возрастает на $$R$$, так как функции $$\sqrt[5]{4x},\ \sqrt[3]{x},\ x$$ возрастают на всей числовой прямой. Значит, уравнение $$f(x)=12$$ имеет не более одного корня.

Проверим число $$x=8$$:

$$\sqrt[5]{4\cdot 8}+\sqrt[3]{8}+8=\sqrt[5]{32}+2+8=2+2+8=12.$$

Следовательно, $$x=8$$ — корень уравнения, и он единственный.