Упр.954 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 954. Докажите, что выражение v(x+2v(x-1))+v(x-2v(x-1)) равно 2v(x-1), если х > 2, и равно 2, если x?2.

Преобразуем выражение:

$$\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}$$
$$=\sqrt{(x-1)+2\sqrt{x-1}+1}+\sqrt{(x-1)-2\sqrt{x-1}+1}$$
$$=\sqrt{\left(\sqrt{x-1}+1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2}$$
$$=\left|\sqrt{x-1}+1\right|+\left|\sqrt{x-1}-1\right|.$$

Рассмотрим два случая.

1. Если $$x>2,$$ то $$\sqrt{x-1}>1,$$ значит

   $$\left|\sqrt{x-1}+1\right|+\left|\sqrt{x-1}-1\right|$$
   $$=\sqrt{x-1}+1+\sqrt{x-1}-1$$
   $$=2\sqrt{x-1}.$$

2. Если $$x\le 2,$$ то $$\sqrt{x-1}\le 1,$$ значит

   $$\left|\sqrt{x-1}+1\right|+\left|\sqrt{x-1}-1\right|$$
   $$=\sqrt{x-1}+1-\left(\sqrt{x-1}-1\right)$$
   $$=2.$$

Тем самым доказано, что данное выражение равно $$2\sqrt{x-1}$$ при $$x>2$$ и равно $$2$$ при $$x\le 2.$$

Ответ

$$\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}= \begin{cases} 2\sqrt{x-1}, & x>2,\\ 2, & x\le 2. \end{cases}$$