Упр.953 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

((1+v5)/2)^n+((1+v5)/2)^(n-1)-((1-v5)/2)^n-((1-v5)/2)^(n-1)=((1+v5)/2)^(n+1)-((1-v5)/2)^(n-1).

Преобразуем левую часть равенства, вынеся общий множитель в первых двух и в последних двух слагаемых:

$$ \left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n+\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^{n-1} -\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^{n-1} $$
$$ =\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^{n-1}\left(\frac{1+\sqrt5}{2}+1\right) -\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^{n-1}\left(\frac{1-\sqrt5}{2}+1\right). $$

Упростим скобки:

$$ \frac{1+\sqrt5}{2}+1=\frac{3+\sqrt5}{2}, \qquad \frac{1-\sqrt5}{2}+1=\frac{3-\sqrt5}{2}. $$

Тогда

$$ =\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^{n-1}\cdot \frac{3+\sqrt5}{2} -\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^{n-1}\cdot \frac{3-\sqrt5}{2}. $$

Заметим, что

$$ \frac{3+\sqrt5}{2}=\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^2, \qquad \frac{3-\sqrt5}{2}=\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^2. $$

Следовательно,

$$ =\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^{n-1}\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^2 -\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^{n-1}\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^2 $$
$$ =\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^{n+1} -\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^{n+1}. $$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$ \left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n+\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^{n-1} -\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^{n-1} = \left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^{n+1} -\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^{n+1}. $$