Упр.953 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Постройте график функции, обратной данной:
а) $$y=\frac{1}{x^2+1}$$, где $$x\geqslant0$$;
б) $$y=\sqrt{-x}$$;
в) $$y=-\sqrt{x}$$;
г) $$y=\sqrt{9-x^2}$$, где $$x\geqslant0$$. - Докажите, что при любом натуральном $$n$$ верно равенство:
$$\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n+\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1}=\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1}.$$
Преобразуем левую часть равенства, вынеся общий множитель в первых двух и в последних двух слагаемых:
$$\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n+\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^{n-1} -\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^{n-1}$$
$$=\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^{n-1}\left(\frac{1+\sqrt5}{2}+1\right) -\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^{n-1}\left(\frac{1-\sqrt5}{2}+1\right).$$
Упростим скобки:
$$\frac{1+\sqrt5}{2}+1=\frac{3+\sqrt5}{2}, \qquad \frac{1-\sqrt5}{2}+1=\frac{3-\sqrt5}{2}.$$
Тогда
$$=\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^{n-1}\cdot \frac{3+\sqrt5}{2} -\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^{n-1}\cdot \frac{3-\sqrt5}{2}.$$
Заметим, что
$$\frac{3+\sqrt5}{2}=\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^2, \qquad \frac{3-\sqrt5}{2}=\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^2.$$
Следовательно,
$$=\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^{n-1}\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^2 -\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^{n-1}\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^2$$
$$=\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^{n+1} -\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^{n+1}.$$
Что и требовалось доказать.
Ответ
$$\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n+\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^{n-1} -\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^{n-1} = \left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^{n+1} -\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^{n+1}.$$
