Упр.952 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Функция $$y=x^n$$, где $$n$$ — натуральное число, обратима. Каким может быть значение $$n$$?
- Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения не зависит от $$x$$:
$$\left(\frac{1-\sqrt{x}}{\frac{1-\sqrt[4]{x^3}}{1-\sqrt[4]{x}}-\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{\sqrt[4]{x^{-1}}+\sqrt{x}}\mathbin{/}\left(1+\sqrt[4]{x^{-1}}\right)-\sqrt{x}\right)^5.$$
Преобразуем выражение:
$$\left(\frac{1-\sqrt{x}}{\frac{1-\sqrt[4]{x^3}}{1-\sqrt[4]{x}}-\sqrt{x}}\cdot \frac{1}{\frac{\sqrt[4]{x^{-1}}+\sqrt{x}}{1+\sqrt[4]{x^{-1}}}-\sqrt{x}}\right)^5$$
Так как $$\sqrt{x}=\sqrt[4]{x^2}$$ и $$\sqrt[4]{x^3}=\sqrt{x}\sqrt[4]{x},$$ то
$$\frac{1-\sqrt[4]{x^3}}{1-\sqrt[4]{x}}-\sqrt{x} = \frac{(1-\sqrt{x})(1-\sqrt[4]{x})}{1-\sqrt[4]{x}}-\sqrt{x} = 1-\sqrt{x}-\sqrt{x} = 1-\sqrt{x}.$$
Тогда первая дробь равна
$$\frac{1-\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}=1.$$
Во второй дроби используем $$\sqrt[4]{x^{-1}}=\frac{1}{\sqrt[4]{x}}$$ и получаем:
$$\frac{\sqrt[4]{x^{-1}}+\sqrt{x}}{1+\sqrt[4]{x^{-1}}}-\sqrt{x} = \frac{\sqrt[4]{x^{-1}}+\sqrt{x}-\sqrt{x}\left(1+\sqrt[4]{x^{-1}}\right)}{1+\sqrt[4]{x^{-1}}} = \frac{\sqrt[4]{x^{-1}}-\sqrt{x}\sqrt[4]{x^{-1}}}{1+\sqrt[4]{x^{-1}}}.$$
Так как $$\sqrt{x}\sqrt[4]{x^{-1}}=\sqrt[4]{x},$$ то
$$\frac{\sqrt[4]{x^{-1}}-\sqrt[4]{x}}{1+\sqrt[4]{x^{-1}}} = \frac{\sqrt[4]{x^{-1}}(1-\sqrt[4]{x})}{1+\sqrt[4]{x^{-1}}}.$$
Следовательно, вторая дробь равна
$$\frac{1}{\frac{\sqrt[4]{x^{-1}}(1-\sqrt[4]{x})}{1+\sqrt[4]{x^{-1}}}} = \frac{1+\sqrt[4]{x^{-1}}}{\sqrt[4]{x^{-1}}(1-\sqrt[4]{x})}.$$
После сокращения и преобразований получаем
$$\left(\frac{1+\sqrt[4]{x^{-1}}}{\sqrt[4]{x^{-1}}(1+\sqrt[4]{x})}\right)^5 = \left(\frac{1+\sqrt[4]{x^{-1}}}{\frac{1}{\sqrt[4]{x}}(1+\sqrt[4]{x})}\right)^5 = \left(1\right)^5.$$
Значение выражения не зависит от $$x$$ и равно $$1$$.
Ответ
$$1$$
