Упр.951 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

((x^2+yv(xy)+xv(xy)+y^2)·(vx+vy)^(-2)-v(xy))/(x-y)+2vy/(vx+vy).

Преобразуем выражение:

$$ \frac{(x^2+y\sqrt{xy}+x\sqrt{xy}+y^2)\cdot(\sqrt{x}+\sqrt{y})^{-2}-\sqrt{xy}}{x-y} +\frac{2\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} $$

Так как $$ (\sqrt{x}+\sqrt{y})^{-2}=\frac{1}{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}, $$ получаем

$$ \frac{x^2+y\sqrt{xy}+x\sqrt{xy}+y^2-\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}{(x-y)(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2} +\frac{2\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}. $$

Раскроем квадрат:

$$ (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2=x+2\sqrt{xy}+y. $$

Тогда числитель первой дроби:

$$ x^2+y\sqrt{xy}+x\sqrt{xy}+y^2-\sqrt{xy}(x+2\sqrt{xy}+y) $$
$$ =x^2-2xy+y^2=(x-y)^2. $$

Следовательно,

$$ \frac{(x-y)^2}{(x-y)(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2} +\frac{2\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} = \frac{x-y}{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2} +\frac{2\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}. $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ \frac{x-y+2\sqrt{y}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2} = \frac{x-y+2\sqrt{xy}+2y}{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}. $$

Так как $$x-y+2y=x+y,$$ то

$$ \frac{x+2\sqrt{xy}+y}{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2} = \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2} =1. $$

Значение выражения не зависит от $$x$$ и $$y$$.

Ответ

$$1$$