Упр.948 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) (a^1,25+2a+4a^0,75)/(a+4a^0,5+16)+8/(a^0,5-2a^0,25+4);
б) (b^0,5-10b^0,25+21)/(c^0,5+11c^0,25+30):((c^0,5-36)/(b^0,5-49))^(-1);
в) ((2x-16x^0,5+32)/x^0,5)^(-1):(x^0,5/(2x^0,5-8)+8/(x+4x^0,5)-(x+16)/(2x-32));
г) 4y^(1/2)/(1-4y^(1/2))^(1/2)·((1-v(1-4y^(1/2)))/(1+v(1-4y^(1/2)))-(1+v(1-4y^(1/2)))/(1-v(1-4y^(1/2)))).

Подробный ответ

а) Обозначим $$t=a^{0,25}.$$ Тогда $$a^{0,5}=t^2,\quad a^{0,75}=t^3,\quad a^{1,25}=t^5.$$

Получаем:

$$ \frac{a^{1,25}+2a+4a^{0,75}}{a+4a^{0,5}+16}+\frac{8}{a^{0,5}-2a^{0,25}+4} = \frac{t^5+2t^4+4t^3}{t^4+4t^2+16}+\frac{8}{t^2-2t+4}. $$

Вынесем общий множитель:

$$ \frac{t^3(t^2+2t+4)}{t^4+4t^2+16}+\frac{8}{t^2-2t+4}. $$

Заметим, что

$$ t^4+4t^2+16=(t^2-2t+4)(t^2+2t+4). $$

Тогда

$$ \frac{t^3}{t^2-2t+4}+\frac{8}{t^2-2t+4} = \frac{t^3+8}{t^2-2t+4}. $$

Разложим сумму кубов:

$$ t^3+8=(t+2)(t^2-2t+4). $$

Следовательно,

$$ \frac{t^3+8}{t^2-2t+4}=t+2=a^{0,25}+2. $$

б) Преобразуем дроби:

$$ \frac{b^{0,5}-10b^{0,25}+21}{c^{0,5}+11c^{0,25}+30}:\left(\frac{c^{0,5}-36}{b^{0,5}-49}\right)^{-1}. $$

Положим $$u=b^{0,25},\ v=c^{0,25}.$$ Тогда $$b^{0,5}=u^2,\ c^{0,5}=v^2.$$ Имеем:

$$ \frac{u^2-10u+21}{v^2+11v+30}:\left(\frac{v^2-36}{u^2-49}\right)^{-1}. $$

Разложим на множители:

$$ u^2-10u+21=(u-3)(u-7),\quad v^2+11v+30=(v+5)(v+6), $$

$$ v^2-36=(v-6)(v+6),\quad u^2-49=(u-7)(u+7). $$

Так как деление на выражение в степени $$-1$$ равно умножению на это выражение, получаем:

$$ \frac{(u-3)(u-7)}{(v+5)(v+6)}\cdot \frac{(v-6)(v+6)}{(u-7)(u+7)}. $$

Сокращаем:

$$ \frac{(u-3)(v-6)}{(v+5)(u+7)}. $$

Возвращаясь к переменным, получаем:

$$ \frac{(b^{0,25}-3)(c^{0,25}-6)}{(c^{0,25}+5)(b^{0,25}+7)}. $$

в) Обозначим $$t=x^{0,5}.$$ Тогда $$x=t^2.$$

Имеем:

$$ \left(\frac{2x-16x^{0,5}+32}{x^{0,5}}\right)^{-1} = \left(\frac{2t^2-16t+32}{t}\right)^{-1} = \left(\frac{2(t-4)^2}{t}\right)^{-1} = \frac{t}{2(t-4)^2}. $$

Знаменатель исходного выражения:

$$ \frac{t}{2t-8}+\frac{8}{t^2+4t}-\frac{t^2+16}{2t^2-32} = \frac{t}{2(t-4)}+\frac{8}{t(t+4)}-\frac{t^2+16}{2(t-4)(t+4)}. $$

Приведём к общему знаменателю $$2t(t-4)(t+4)$$:

$$ \frac{t^2(t+4)+16(t-4)-t(t^2+16)}{2t(t-4)(t+4)} = \frac{4(t-4)}{2t(t-4)(t+4)} = \frac{2}{t(t+4)}. $$

Тогда всё выражение равно:

$$ \frac{t}{2(t-4)^2}:\frac{2}{t(t+4)} = \frac{t}{2(t-4)^2}\cdot \frac{t(t+4)}{2} = \frac{t^2(t+4)}{4(t-4)^2}. $$

Так как $$t^2=x$$ и $$t+4=\sqrt{x}+4$$, после упрощения получаем:

$$ \frac{x}{4(\sqrt{x}-4)^2}. $$

г) Обозначим $$u=\sqrt{1-4y^{1/2}}.$$ Тогда выражение имеет вид:

$$ \frac{4y^{1/2}}{\sqrt{1-4y^{1/2}}}\cdot \left( \frac{1-u}{1+u}-\frac{1+u}{1-u} \right). $$

Сложим дроби в скобках:

$$ \frac{(1-u)^2-(1+u)^2}{(1+u)(1-u)} = \frac{1-2u+u^2-1-2u-u^2}{1-u^2} = \frac{-4u}{1-u^2}. $$