Упр.946 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 946. Упростите выражение (x^(1/m)+x^(1/n))^2-4a^2x^(1/m+1/n), если x=(a+v(a^2-1))^(2mn/(m-n)), m и n — натуральные числа, причём m?n.

Пусть

$$x=\left(a+\sqrt{a^2-1}\right)^{\frac{2mn}{m-n}}.$$

Тогда

$$x^{\frac1m}=\left(a+\sqrt{a^2-1}\right)^{\frac{2n}{m-n}}, \qquad x^{\frac1n}=\left(a+\sqrt{a^2-1}\right)^{\frac{2m}{m-n}}.$$

Рассмотрим выражение

$$\left(x^{\frac1m}+x^{\frac1n}\right)^2-4a^2x^{\frac1m+\frac1n}.$$

Вынесем общий множитель:

$$\left(x^{\frac1m}+x^{\frac1n}\right)^2-4a^2x^{\frac1m+\frac1n}=\left(x^{\frac1m}+x^{\frac1n}\right)^2-\left(2ax^{\frac1{2m}+\frac1{2n}}\right)^2.$$

По формуле разности квадратов получаем:

$$ \left(x^{\frac1m}+x^{\frac1n}-2ax^{\frac{m+n}{2mn}}\right) \left(x^{\frac1m}+x^{\frac1n}+2ax^{\frac{m+n}{2mn}}\right). $$

Первый множитель преобразуем:

$$ x^{\frac1m}+x^{\frac1n}-2ax^{\frac{m+n}{2mn}} = x^{\frac{m+n}{2mn}}\left(x^{-\frac{m-n}{2mn}}+x^{\frac{m-n}{2mn}}-2a\right). $$

Найдём

$$ x^{\frac{m-n}{2mn}} =\left(\left(a+\sqrt{a^2-1}\right)^{\frac{2mn}{m-n}}\right)^{\frac{m-n}{2mn}} =a+\sqrt{a^2-1}, $$

следовательно,

$$ x^{-\frac{m-n}{2mn}}=\frac{1}{a+\sqrt{a^2-1}}. $$

Тогда

$$ x^{-\frac{m-n}{2mn}}+x^{\frac{m-n}{2mn}}-2a =\frac{1}{a+\sqrt{a^2-1}}+a+\sqrt{a^2-1}-2a. $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ \frac{1+(a^2-1)-a^2}{a+\sqrt{a^2-1}}+\sqrt{a^2-1}-a=0. $$

Значит, первый множитель равен нулю, а всё выражение равно нулю.

Ответ

$$0$$