Упр.946 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Решите неравенство:
   а) $$x-\sqrt[3]{2x+4}<0$$;
   б) $$64\sqrt{-x}-x^2\ge 0$$.
2. Упростите выражение $$\left(x^{\frac{1}{m}}+x^{\frac{1}{n}}\right)^2-4a^2x^{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}$$, если $$x=\left(a+\sqrt{a^2-1}\right)^{\frac{2mn}{m-n}}$$, $$m$$ и $$n$$ — натуральные числа, причём $$m\ne n$$.

Пусть

$$x=\left(a+\sqrt{a^2-1}\right)^{\frac{2mn}{m-n}}.$$

Тогда

$$x^{\frac1m}=\left(a+\sqrt{a^2-1}\right)^{\frac{2n}{m-n}}, \qquad x^{\frac1n}=\left(a+\sqrt{a^2-1}\right)^{\frac{2m}{m-n}}.$$

Рассмотрим выражение

$$\left(x^{\frac1m}+x^{\frac1n}\right)^2-4a^2x^{\frac1m+\frac1n}.$$

Вынесем общий множитель:

$$\left(x^{\frac1m}+x^{\frac1n}\right)^2-4a^2x^{\frac1m+\frac1n}=\left(x^{\frac1m}+x^{\frac1n}\right)^2-\left(2ax^{\frac1{2m}+\frac1{2n}}\right)^2.$$

По формуле разности квадратов получаем:

$$\left(x^{\frac1m}+x^{\frac1n}-2ax^{\frac{m+n}{2mn}}\right) \left(x^{\frac1m}+x^{\frac1n}+2ax^{\frac{m+n}{2mn}}\right).$$

Первый множитель преобразуем:

$$x^{\frac1m}+x^{\frac1n}-2ax^{\frac{m+n}{2mn}} = x^{\frac{m+n}{2mn}}\left(x^{-\frac{m-n}{2mn}}+x^{\frac{m-n}{2mn}}-2a\right).$$

Найдём

$$x^{\frac{m-n}{2mn}} =\left(\left(a+\sqrt{a^2-1}\right)^{\frac{2mn}{m-n}}\right)^{\frac{m-n}{2mn}} =a+\sqrt{a^2-1},$$

следовательно,

$$x^{-\frac{m-n}{2mn}}=\frac{1}{a+\sqrt{a^2-1}}.$$

Тогда

$$x^{-\frac{m-n}{2mn}}+x^{\frac{m-n}{2mn}}-2a =\frac{1}{a+\sqrt{a^2-1}}+a+\sqrt{a^2-1}-2a.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{1+(a^2-1)-a^2}{a+\sqrt{a^2-1}}+\sqrt{a^2-1}-a=0.$$

Значит, первый множитель равен нулю, а всё выражение равно нулю.

Ответ

$$0$$