Упр.945 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 945. Упростите выражение (a+x^(1/2))^(-1/2)+(a-x^(1/2))^(-1/2), если x=4(a-1), рассмотрите случаи, когда: а) 1 < a < 2; б) a > 2.

Преобразуем выражение:

$$ (a+\sqrt{x})^{-1/2}+(a-\sqrt{x})^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{a+\sqrt{x}}}+\frac{1}{\sqrt{a-\sqrt{x}}} $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ \frac{\sqrt{a-\sqrt{x}}+\sqrt{a+\sqrt{x}}}{\sqrt{(a+\sqrt{x})(a-\sqrt{x})}} = \frac{\sqrt{a-\sqrt{x}}+\sqrt{a+\sqrt{x}}}{\sqrt{a^2-x}} $$

Так как $$x=4(a-1),$$ то

$$ a^2-x=a^2-4(a-1)=a^2-4a+4=(a-2)^2. $$

Обозначим

$$ k=\sqrt{a-2\sqrt{a-1}}, \qquad b=\sqrt{a+2\sqrt{a-1}}. $$

Тогда

$$ k^2+b^2=2a, $$
$$ kb=\sqrt{(a-2\sqrt{a-1})(a+2\sqrt{a-1})} =\sqrt{a^2-4(a-1)}=\sqrt{(a-2)^2}. $$

1) Если $$1<a<2,$$ то

$$ \sqrt{(a-2)^2}=|a-2|=2-a. $$

Тогда

$$ (k+b)^2=k^2+2kb+b^2=2a+2(2-a)=4, $$
$$ k+b=2. $$

Следовательно,

$$ \frac{k+b}{\sqrt{a^2-x}}=\frac{2}{2-a}. $$

2) Если $$a>2,$$ то

$$ \sqrt{(a-2)^2}=|a-2|=a-2. $$

Тогда

$$ (k+b)^2=k^2+2kb+b^2=2a+2(a-2)=4a-4, $$
$$ k+b=\sqrt{4a-4}=2\sqrt{a-1}. $$

Следовательно,

$$ \frac{k+b}{\sqrt{a^2-x}}=\frac{2\sqrt{a-1}}{a-2}. $$

Ответ

а) $$\frac{2}{2-a}$$; б) $$\frac{2\sqrt{a-1}}{a-2}$$.