Упр.945 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Решите неравенство:
   
   а) $$\frac{\sqrt{x+5}-1}{5-\sqrt{x+5}}\mathrel{?}0$$;
   
   в) $$(x^2-2x-1)^{0,5}\mathrel{?}14(x^2-2x-1)^{-0,5}-5$$;
   
   б) $$\frac{(1-x)^{1/3}-2}{(1-x)^{1/3}+3}\mathrel{?}0$$;
   
   г) $$\sqrt{x^2-3x+11}>8(x^3-3x+11)^{-0,5}-2$$.
2. Упростите выражение $$(a+x^{1/2})^{-1/2}+(a-x^{1/2})^{-1/2}$$, если $$x=4(a-1)$$, рассмотрите случаи, когда:
   
   а) $$1б) $$a>2$$.

Преобразуем выражение:

$$(a+\sqrt{x})^{-1/2}+(a-\sqrt{x})^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{a+\sqrt{x}}}+\frac{1}{\sqrt{a-\sqrt{x}}}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{\sqrt{a-\sqrt{x}}+\sqrt{a+\sqrt{x}}}{\sqrt{(a+\sqrt{x})(a-\sqrt{x})}} = \frac{\sqrt{a-\sqrt{x}}+\sqrt{a+\sqrt{x}}}{\sqrt{a^2-x}}$$

Так как $$x=4(a-1),$$ то

$$a^2-x=a^2-4(a-1)=a^2-4a+4=(a-2)^2.$$

Обозначим

$$k=\sqrt{a-2\sqrt{a-1}}, \qquad b=\sqrt{a+2\sqrt{a-1}}.$$

Тогда

$$k^2+b^2=2a,$$
$$kb=\sqrt{(a-2\sqrt{a-1})(a+2\sqrt{a-1})} =\sqrt{a^2-4(a-1)}=\sqrt{(a-2)^2}.$$

1) Если $$1<a<2,$$ то

$$\sqrt{(a-2)^2}=|a-2|=2-a.$$

Тогда

$$(k+b)^2=k^2+2kb+b^2=2a+2(2-a)=4,$$
$$k+b=2.$$

Следовательно,

$$\frac{k+b}{\sqrt{a^2-x}}=\frac{2}{2-a}.$$

2) Если $$a>2,$$ то

$$\sqrt{(a-2)^2}=|a-2|=a-2.$$

Тогда

$$(k+b)^2=k^2+2kb+b^2=2a+2(a-2)=4a-4,$$
$$k+b=\sqrt{4a-4}=2\sqrt{a-1}.$$

Следовательно,

$$\frac{k+b}{\sqrt{a^2-x}}=\frac{2\sqrt{a-1}}{a-2}.$$

Ответ

а) $$\frac{2}{2-a}$$; б) $$\frac{2\sqrt{a-1}}{a-2}$$.