Упр.943 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) 2^(1/2)·(4+v8)^(1/3)·(3-2v2)^(1/6); в) (10+6v3)^(1/3)+(10-6v3)^(1/3);
б) 5^(2/3)·(1+v6)^(1/3)·(7-2v6)^(1/6); г) (7+5v2)^(1/3)+(7-5v2)^(1/3).

Подробный ответ

а) Обозначим данное выражение через $$x$$:
$$x=2^{\frac12}\cdot(4+\sqrt8)^{\frac13}\cdot(3-2\sqrt2)^{\frac16}.$$
Возведём в шестую степень:
$$x^6=2^3\cdot(4+\sqrt8)^2\cdot(3-2\sqrt2).$$
Так как $$\sqrt8=2\sqrt2,$$ то
$$4+\sqrt8=4+2\sqrt2,$$
$$ (4+2\sqrt2)^2=16+16\sqrt2+8=24+16\sqrt2.$$
Тогда
$$x^6=8(24+16\sqrt2)(3-2\sqrt2).$$
Перемножим:
$$ (24+16\sqrt2)(3-2\sqrt2)=72-48\sqrt2+48\sqrt2-64=8. $$
Значит,
$$x^6=8\cdot 8=64,$$
откуда
$$x=\sqrt[6]{64}=2.$$
б) Обозначим выражение через $$x$$:
$$x=5^{\frac23}\cdot(1+\sqrt6)^{\frac13}\cdot(7-2\sqrt6)^{\frac16}.$$
Возведём в шестую степень:
$$x^6=5^4\cdot(1+\sqrt6)^2\cdot(7-2\sqrt6).$$
Так как
$$ (1+\sqrt6)^2=1+2\sqrt6+6=7+2\sqrt6, $$
то
$$x^6=5^4(7+2\sqrt6)(7-2\sqrt6).$$
Используем формулу разности квадратов:
$$ (7+2\sqrt6)(7-2\sqrt6)=49-24=25. $$
Следовательно,
$$x^6=5^4\cdot25=5^4\cdot5^2=5^6,$$
значит,
$$x=\sqrt[6]{5^6}=5.$$
в) Обозначим
$$x=\sqrt[3]{10+6\sqrt3}+\sqrt[3]{10-6\sqrt3}.$$
Пусть
$$a=\sqrt[3]{10+6\sqrt3},\quad b=\sqrt[3]{10-6\sqrt3}.$$
Тогда
$$a^3+b^3=20,$$
$$ab=\sqrt[3]{(10+6\sqrt3)(10-6\sqrt3)}=\sqrt[3]{100-108}=\sqrt[3]{-8}=-2.$$
Используем формулу:
$$ (a+b)^3=a^3+3ab(a+b)+b^3. $$
Получаем
$$x^3=20+3(-2)x=20-6x.$$
То есть
$$x^3+6x-20=0.$$
Проверяем целое значение: при $$x=2$$ имеем
$$2^3+6\cdot2-20=8+12-20=0.$$
Значит, $$x=2$$.
г) Обозначим
$$x=\sqrt[3]{7+5\sqrt2}+\sqrt[3]{7-5\sqrt2}.$$
Пусть
$$a=\sqrt[3]{7+5\sqrt2},\quad b=\sqrt[3]{7-5\sqrt2}.$$
Тогда
$$a^3+b^3=14,$$
$$ab=\sqrt[3]{(7+5\sqrt2)(7-5\sqrt2)}=\sqrt[3]{49-50}=\sqrt[3]{-1}=-1.$$
По формуле
$$ (a+b)^3=a^3+3ab(a+b)+b^3 $$
получаем
$$x^3=14+3(-1)x=14-3x.$$
То есть
$$x^3+3x-14=0.$$
Проверяем $$x=2$$:
$$2^3+3\cdot2-14=8+6-14=0.$$
Следовательно, $$x=2$$.