Упр.942 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

Решите неравенство:
а) $$(x-8)\cdot(15-5x)<0;$$ в) $$(24+5x-x^2)(x^2-5x-14)^{1/4}?0;$$ б) $$(x^2-9)\cdot(16-x^2)>0;$$
г) $$(x^2-3x+8)(x^2-x-56)^{1/4}?0.$$
Докажите, что значение выражения не зависит от $$n$$ ($$n\in\mathbb{Z}$$):
а) $$\frac{(25^n-25^{2n-2})^{1/2}}{(125^{n-1}-61\cdot5^{3n-6})^{1/3}};$$
б) $$\frac{(16^{n-1}-16^{n-2})^{1/4}}{(8^{n-2}+7\cdot8^{n-3})^{1/3}}.$$

Подробный ответ

а) Преобразуем числитель и знаменатель, выделяя общие множители:

$$\frac{(25^n-25^{2n-2})^{\frac12}}{(125^{n-1}-61\cdot 5^{3n-6})^{\frac13}} = \frac{\left(5^{2n}-\frac{5^{4n-4}}{5^2}\right)^{\frac12}}{\left(\frac{5^{3n}}{125}-61\cdot \frac{5^{3n}}{5^6}\right)^{\frac13}}$$

$$= \frac{\left(5^{2n}\left(1-\frac1{25}\right)\right)^{\frac12}}{\left(5^{3n}\left(\frac1{5^3}-\frac{61}{5^6}\right)\right)^{\frac13}} = \frac{5^n\left(1-\frac1{25}\right)^{\frac12}}{5^n\left(\frac1{5^3}-\frac{61}{5^6}\right)^{\frac13}}$$

$$= \frac{5^n\left(\frac{24}{25}\right)^{\frac12}}{5^n\left(\frac{125-61}{5^6}\right)^{\frac13}} = \frac{5^n\cdot \frac{2\sqrt6}{5}}{5^n\cdot \frac{\sqrt[3]{64}}{5^2}} = \frac{5\sqrt6}{2}.$$

Значение выражения не зависит от $$n$$.

б) Аналогично преобразуем выражение:

$$\frac{(16^{n-1}-16^{n-2})^{\frac14}}{(8^{n-2}+7\cdot 8^{n-3})^{\frac13}} = \frac{\left(\frac{2^{4n}}{16}-\frac{2^{4n}}{16^2}\right)^{\frac14}}{\left(\frac{2^{3n}}{8^2}+7\cdot \frac{2^{3n}}{8^3}\right)^{\frac13}}$$

$$= \frac{\left(2^{4n}\left(\frac1{16}-\frac1{16^2}\right)\right)^{\frac14}}{\left(2^{3n}\left(\frac1{8^2}+\frac7{8^3}\right)\right)^{\frac13}} = \frac{2^n\left(\frac{16-1}{16^2}\right)^{\frac14}}{2^n\left(\frac{8+7}{8^3}\right)^{\frac13}}$$

$$= \frac{2^n\cdot \frac{\sqrt[4]{15}}{4}}{2^n\cdot \frac{\sqrt[3]{15}}{8}} = \frac{2\sqrt[4]{15}}{\sqrt[3]{15}}.$$

Значение выражения не зависит от $$n$$.