Упр.93 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Задание учебника 2026 года. Докажите, что функция $$f(x)$$ является ограниченной, и укажите её верхнюю и нижнюю границы, если:
а) $$f(x)=2x-3$$, где $$x\in[5;6]$$;
в) $$f(x)=x^4$$, где $$x\in[-2;2)$$;
б) $$f(x)=x^3$$, где $$x\in(-2;3]$$;
г) $$f(x)=\frac{6}{x}$$, где $$x\in[1;6)$$. - Задание учебника 2023 года. Постройте график функции:
а) $$f(x)=x\lvert x\rvert$$;
б) $$f(x)=x^2-\frac{\lvert x\rvert}{x}$$;
в) $$f(x)=\frac{x^3-\lvert x\rvert}{x}$$;
г) $$f(x)=\frac{x^4-x\lvert x\rvert}{x^2}$$.
Разберём модуль по знаку аргумента.
а) $$f(x)=x|x|$$
Если $$x \ge 0$$, то $$|x|=x$$, значит
$$f(x)=x\cdot x=x^2.$$
Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$, значит
$$f(x)=x\cdot(-x)=-x^2.$$
Следовательно,
$$f(x)= \begin{cases} x^2, & x \ge 0,\\ -x^2, & x<0. \end{cases}$$
б) $$f(x)=x^2-\dfrac{|x|}{x}$$
Область определения: $$x \ne 0$$.
Если $$x>0$$, то $$|x|=x$$, поэтому
$$f(x)=x^2-1.$$
Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$, поэтому
$$f(x)=x^2+1.$$
Значит,
$$f(x)= \begin{cases} x^2-1, & x>0,\\ x^2+1, & x<0. \end{cases}$$
в) $$f(x)=\dfrac{x^3-|x|}{x}$$
Область определения: $$x \ne 0$$.
Если $$x>0$$, то $$|x|=x$$, значит
$$f(x)=\dfrac{x^3-x}{x}=x^2-1.$$
Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$, значит
$$f(x)=\dfrac{x^3+x}{x}=x^2+1.$$
Следовательно,
$$f(x)= \begin{cases} x^2-1, & x>0,\\ x^2+1, & x<0. \end{cases}$$
г) $$f(x)=\dfrac{x^4-x|x|}{x^2}$$
Область определения: $$x \ne 0$$.
Если $$x>0$$, то $$|x|=x$$, поэтому
$$f(x)=\dfrac{x^4-x^2}{x^2}=x^2-1.$$
Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$, поэтому
$$f(x)=\dfrac{x^4+x^2}{x^2}=x^2+1.$$
Итак,
$$f(x)= \begin{cases} x^2-1, & x>0,\\ x^2+1, & x<0. \end{cases}$$
Графики в пунктах б), в) и г) совпадают: это две ветви параболы $$y=x^2-1$$ при $$x>0$$ и $$y=x^2+1$$ при $$x<0$$, с выколотой точкой при $$x=0$$.
Ответ
$$\text{а) } f(x)= \begin{cases} x^2, & x \ge 0,\\ -x^2, & x<0; \end{cases} \qquad \text{б) } f(x)= \begin{cases} x^2-1, & x>0,\\ x^2+1, & x<0; \end{cases}$$
$$\text{в) } f(x)= \begin{cases} x^2-1, & x>0,\\ x^2+1, & x<0; \end{cases} \qquad \text{г) } f(x)= \begin{cases} x^2-1, & x>0,\\ x^2+1, & x<0. \end{cases}$$
