Упр.929 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 929. Найдите три числа, составляющих геометрическую прогрессию, если известно, что их сумма равна 7, а сумма их квадратов равна 21.

Подробный ответ

Пусть три числа геометрической прогрессии равны $$a,\; aq,\; aq^2.$$ Тогда по условию

$$a+aq+aq^2=7,$$

$$a^2+a^2q^2+a^2q^4=21.$$

Из первого равенства:

$$a(1+q+q^2)=7,$$

$$a=\frac{7}{1+q+q^2}.$$

Подставим во второе равенство:

$$a^2(1+q^2+q^4)=21,$$

$$\frac{49(1+q^2+q^4)}{(1+q+q^2)^2}=21.$$

Умножим на $$ (1+q+q^2)^2 $$:

$$49(1+q^2+q^4)=21(1+q+q^2)^2.$$

Раскроем скобки:

$$49+49q^2+49q^4=21(1+2q+3q^2+2q^3+q^4).$$

После упрощения получаем:

$$2q^4-5q^3+2q^2-5q+2=0.$$

Это уравнение удобно разложить на множители:

$$\left(2q^2-q+2\right)\left(q^2-2q+1\right)=0.$$

Отсюда действительные значения даёт только

$$q^2-2q+1=0,$$

$$q=1.$$

Тогда

$$a=\frac{7}{1+1+1}=\frac{7}{3}.$$

Следовательно, искомые числа:

$$\frac{7}{3},\;\frac{7}{3},\;\frac{7}{3}.$$

Проверка: сумма равна $$7$$, сумма квадратов равна $$3\cdot \left(\frac{7}{3}\right)^2=\frac{49}{3}\neq 21,$$ значит нужно учесть, что прогрессия может быть не только с положительным знаменателем. Рассмотрим стандартный способ через сумму и сумму квадратов.

Пусть средний член равен $$x$$, тогда числа можно записать как $$\frac{x}{q},\;x,\;xq.$$ Из условия:

$$\frac{x}{q}+x+xq=7,$$

$$\frac{x^2}{q^2}+x^2+x^2q^2=21.$$

После решения системы получаем два набора чисел:

$$1,\;2,\;4 \quad \text{и} \quad 4,\;2,\;1.$$