Упр.928 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Постройте график функции $$f(x)=\begin{cases}-2x-7, & \text{если } x<-2;\\-x^2+1, & \text{если } -2\leqslant x\leqslant 2;\\2x-7, & \text{если } x>2.\end{cases}$$ Найдите нули функции и промежутки, на которых $$f(x)<0$$ и $$f(x)>0$$; промежутки, на которых функция $$f(x)$$ убывает, возрастает.
2. Упростите выражение $$\left(\frac{3}{25-x^2}+\frac{1}{x^2-10x+25}\right)\cdot\frac{(x-5)^2}{2}+\frac{3x}{x+5}.$$

$$\left(\frac{3}{25-x^2}+\frac{1}{x^2-10x+25}\right)\cdot \frac{(x-5)^2}{2}+\frac{3x}{x+5}$$

Разложим знаменатели на множители:

$$25-x^2=(5-x)(5+x), \qquad x^2-10x+25=(x-5)^2$$

Тогда

$$\left(\frac{3}{(5-x)(5+x)}+\frac{1}{(x-5)^2}\right)\cdot \frac{(x-5)^2}{2}+\frac{3x}{x+5}$$

Так как $$5-x=-(x-5)$$, получаем

$$\frac{3}{(5-x)(5+x)}=-\frac{3}{(x-5)(x+5)}$$

Умножим каждое слагаемое в скобках на $$\frac{(x-5)^2}{2}$$:

$$-\frac{3}{(x-5)(x+5)}\cdot \frac{(x-5)^2}{2}+\frac{1}{(x-5)^2}\cdot \frac{(x-5)^2}{2}+\frac{3x}{x+5}$$

$$-\frac{3(x-5)}{2(x+5)}+\frac12+\frac{3x}{x+5}$$

Приведём дроби с знаменателем $$2(x+5)$$:

$$\frac12+\frac{-3(x-5)+6x}{2(x+5)}$$

$$\frac12+\frac{3x+15}{2(x+5)}$$

$$\frac12+\frac{3(x+5)}{2(x+5)}=\frac12+\frac32=2$$

Ответ

$$2$$