Упр.925 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) (x-5)^(1/3)=((x-5)^2)^(1/6), если x?5; в) (9+v80)^(1/3)+(9-v80)^(1/3)=3;
б) (x-5)^(1/3)=-((x-5)^2)^(1/6), если x < 5; г) (v50+7)^(1/3)+(v50-7)^(1/3)=3.

а) При $$x \ge 5$$ имеем $$x-5 \ge 0$$, поэтому можно записать:

$$\sqrt[3]{x-5}=\sqrt[6]{(x-5)^2},$$

так как

$$\left(\sqrt[6]{(x-5)^2}\right)^3=\sqrt{(x-5)^2}=|x-5|=x-5.$$

Следовательно, равенство верно.

б) При $$x<5$$ имеем $$x-5<0$$, значит

$$\sqrt[3]{x-5}=-\sqrt[6]{(x-5)^2}.$$

Действительно,

$$-\sqrt[6]{(x-5)^2}=-\sqrt[3]{|x-5|}=\sqrt[3]{x-5},$$

так как при $$x<5$$ выполняется $$|x-5|=5-x=-(x-5).$$

в) Обозначим

$$a=\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}, \qquad b=\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}.$$

Тогда

$$a^3+b^3=(9+\sqrt{80})+(9-\sqrt{80})=18,$$

$$ab=\sqrt[3]{(9+\sqrt{80})(9-\sqrt{80})}=\sqrt[3]{81-80}=1.$$

Найдём $$a+b$$:

$$ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 $$

$$ (a+b)^3=(a^3+b^3)+3ab(a+b)=18+3(a+b). $$

Проверим, что $$a+b=3$$:

$$3^3=27,\qquad 18+3\cdot 3=27.$$

Значит, $$a+b=3$$, то есть

$$\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}=3.$$

г) Обозначим

$$a=\sqrt[3]{\sqrt{50}+7}, \qquad b=\sqrt[3]{\sqrt{50}-7}.$$

Тогда

$$a^3+b^3=(\sqrt{50}+7)+(\sqrt{50}-7)=2\sqrt{50},$$

$$ab=\sqrt[3]{(\sqrt{50}+7)(\sqrt{50}-7)}=\sqrt[3]{50-49}=1.$$

Пусть $$a+b=2$$. Тогда

$$ (a+b)^3=a^3+3ab(a+b)+b^3 $$

$$ 2^3=2\sqrt{50}+3\cdot 1 \cdot 2. $$

Так как $$2\sqrt{50}=10\sqrt{2}$$, получаем

$$8=2\sqrt{50}+6,$$

что неверно. Значит, в условии здесь, вероятно, опечатка.

Ответ

а) $$\sqrt[3]{x-5}=\sqrt[6]{(x-5)^2}$$ при $$x\ge 5$$; б) $$\sqrt[3]{x-5}=-\sqrt[6]{(x-5)^2}$$ при $$x<5$$; в) $$3$$; г) данных недостаточно: в условии, вероятно, опечатка.