Упр.924 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) (x^(1/4)/(vy-(xy)^(1/4))+y^(1/4)/(vx-(xy)^(1/4)))·((x^2 y)^(1/4)-(xy^2)^(1/4));
б) ((b^(1/4)+2)/(vb-2b^(1/4)+1)+(b^(1/4)+2)/(vb-1)):b^(1/4)/(b^(1/4)+1);
в) x^(1/3)/(x^(1/3)+2x^(1/6))+(2(x^5)^(1/6))/(x+2(x^5)^(1/6));
г) ((y^5)^(1/5)+2(y^4)^(1/5)+4(y^3)^(1/5))/((y^4)^(1/5)+4(y^2)^(1/5)+16)+8/((y^2)^(1/5)-2y^(1/5)+4).

а) Обозначим $$a=\sqrt[4]{x},\quad b=\sqrt[4]{y}.$$ Тогда $$\sqrt[4]{xy}=ab,\quad \sqrt[4]{x^2y}=a^2b,\quad \sqrt[4]{xy^2}=ab^2.$$

Получаем:

$$ \left(\frac{a}{b-ab}+\frac{b}{a-ab}\right)\cdot(a^2b-ab^2) = \left(\frac{a}{b(1-a)}+\frac{b}{a(1-b)}\right)\cdot ab(a-b). $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ \frac{a^2(1-b)+b^2(1-a)}{ab(1-a)(1-b)}\cdot ab(a-b). $$

После сокращения и упрощения получаем:

$$\sqrt{y}-\sqrt{x}.$$

б) Обозначим $$t=\sqrt[4]{b}.$$ Тогда выражение имеет вид

$$ \left(\frac{t+2}{t^2-2t+1}+\frac{t+2}{t-1}\right):\frac{t}{t+1}. $$

Так как $$t^2-2t+1=(t-1)^2,$$ то

$$ \frac{t+2}{(t-1)^2}+\frac{t+2}{t-1} = \frac{t+2}{(t-1)^2}+\frac{(t+2)(t-1)}{(t-1)^2} = \frac{(t+2)t}{(t-1)^2}. $$

Деление на дробь заменяем умножением на обратную:

$$ \frac{t(t+2)}{(t-1)^2}\cdot\frac{t+1}{t} = \frac{(t+2)(t+1)}{(t-1)^2}. $$

Возвращаясь к $$t=\sqrt[4]{b},$$ получаем:

$$\frac{(\sqrt[4]{b}+2)(\sqrt[4]{b}+1)}{(\sqrt[4]{b}-1)^2}.$$

в) Обозначим $$u=\sqrt[6]{x}.$$ Тогда $$\sqrt[3]{x}=u^2,\quad \sqrt[6]{x^5}=u^5,\quad x=u^6.$$

Тогда

$$ \frac{u^2}{u^2+2u}+\frac{2u^5}{u^6+2u^5} = \frac{u^2}{u(u+2)}+\frac{2u^5}{u^5(u+2)} = \frac{u}{u+2}+\frac{2}{u+2}. $$

Складываем:

$$ \frac{u+2}{u+2}=1. $$

Следовательно, ответ:

$$1.$$

г) Обозначим $$t=\sqrt[5]{y}.$$ Тогда

$$ \sqrt[5]{y^5}=t^5,\quad \sqrt[5]{y^4}=t^4,\quad \sqrt[5]{y^3}=t^3,\quad \sqrt[5]{y^2}=t^2. $$

Имеем:

$$ \frac{t^5+2t^4+4t^3}{t^4+4t^2+16}+\frac{8}{t^2-2t+4}. $$

Вынесем общий множитель в первой дроби:

$$ \frac{t^3(t^2+2t+4)}{t^4+4t^2+16}+\frac{8}{t^2-2t+4}. $$

Заметим, что

$$ t^4+4t^2+16=(t^2-2t+4)(t^2+2t+4). $$

Тогда

$$ \frac{t^3(t^2+2t+4)}{(t^2-2t+4)(t^2+2t+4)}+\frac{8}{t^2-2t+4} = \frac{t^3}{t^2-2t+4}+\frac{8}{t^2-2t+4}. $$

Складываем:

$$ \frac{t^3+8}{t^2-2t+4} = \frac{(t+2)(t^2-2t+4)}{t^2-2t+4} = t+2. $$

Значит,

$$\sqrt[5]{y}+2.$$

Ответ

а) $$\sqrt{y}-\sqrt{x}$$; б) $$\frac{(\sqrt[4]{b}+2)(\sqrt[4]{b}+1)}{(\sqrt[4]{b}-1)^2}$$; в) $$1$$; г) $$\sqrt[5]{y}+2$$.