Упр.921 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Докажите, что уравнение $$\left(2x-3\right)^{\frac14}-5x=\left(27-18x\right)^{\frac14}-7{,}5$$ имеет единственный корень, и найдите его.
2. Представьте в виде куба разности выражение:
   а) $$\mathrm{ava}-3ab^{\frac13}+3\mathrm{va}(b^2)^{\frac13}-b$$;
   б) $$x-6\left(x^{11}\right)^{\frac1{12}}+12\left(x^5\right)^{\frac16}-8\left(x^3\right)^{\frac14}$$.

Используем формулу куба разности:

$$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3.$$

а) Подберём слагаемые так, чтобы первое и последнее были кубами:

$$a\sqrt{a}-3a\sqrt[3]{b}+3\sqrt{a}\sqrt[3]{b^2}-b = \sqrt{a^3}-3\sqrt{a^2}\cdot \sqrt[3]{b}+3\sqrt{a}\cdot \sqrt[3]{b^2}-\sqrt[3]{b^3}.$$

Тогда

$$\sqrt{a^3}-3\sqrt{a^2}\cdot \sqrt[3]{b}+3\sqrt{a}\cdot \sqrt[3]{b^2}-\sqrt[3]{b^3} = \left(\sqrt{a}-\sqrt[3]{b}\right)^3.$$

б) Аналогично:

$$x-6\sqrt[12]{x^{11}}+12\sqrt[6]{x^5}-8\sqrt[4]{x^3} = \sqrt[3]{x^3}-3\sqrt[3]{x^2}\cdot 2\sqrt[4]{x} +3\sqrt[3]{x}\cdot 4\sqrt{x} -8\sqrt[4]{x^3}.$$

Это можно записать как

$$\left(\sqrt[3]{x}-2\sqrt[4]{x}\right)^3.$$

Ответ

а) $$\left(\sqrt{a}-\sqrt[3]{b}\right)^3$$

б) $$\left(\sqrt[3]{x}-2\sqrt[4]{x}\right)^3$$