Упр.915 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
Найдите корни уравнения:
а) $$\sqrt{x-2}=x-4$$; в) $$\sqrt{3x+1}=x-3$$; д) $$\sqrt[3]{28-23x-x^3}=3-x$$; б) $$\sqrt{x-2}=4-x$$; г) $$\sqrt[3]{3x^2+8x+10}=x$$; е) $$\sqrt[4]{6x^2-4x+1}=1-x$$.
Упростите выражение:
а) $$\sqrt[4]{(a-3)^4}+\sqrt{(a-2)^2}$$, где $$3\le a\le6$$;
б) $$\sqrt[6]{(b-1)^6}+\sqrt[4]{(2-b)^4}+\sqrt{(b-2)^2}$$, где $$2\le b\le3$$;
в) $$\sqrt{2x^2-2x+3-\sqrt{x^4+4x^2+4}}$$, где $$x\le1$$;
г) $$\sqrt{y^3+y^2-y-1}$$, где $$y\le1$$.
а)
$$\sqrt[4]{(a-3)^4}+\sqrt{(a-6)^2}=|a-3|+|a-6|.$$
Так как $$3\le a\le 6,$$ то
$$|a-3|=a-3,\qquad |a-6|=6-a.$$
Тогда
$$|a-3|+|a-6|=(a-3)+(6-a)=3.$$б)
$$\sqrt[6]{(b-1)^6}+\sqrt[4]{(2-b)^4}+\sqrt{(b-2)^2}=|b-1|+|2-b|+|b-2|.$$
При $$2\le b\le 3$$ имеем
$$|b-1|=b-1,\qquad |2-b|=b-2,\qquad |b-2|=b-2.$$
Тогда
$$|b-1|+|2-b|+|b-2|=(b-1)+(b-2)+(b-2)=3b-5.$$в)
$$\sqrt{2x^2-2x+3-\sqrt{x^4+4x^2+4}}.$$
Заметим, что
$$x^4+4x^2+4=(x^2+2)^2,$$
значит
$$\sqrt{x^4+4x^2+4}=|x^2+2|=x^2+2.$$
Тогда
$$\sqrt{2x^2-2x+3-(x^2+2)}=\sqrt{x^2-2x+1}=\sqrt{(x-1)^2}=|x-1|.$$
Так как $$x\le 1,$$ то $$|x-1|=1-x.$$г)
$$\sqrt{y^3+y^2-y-1}=\sqrt{y^2(y+1)-(y+1)}=\sqrt{(y+1)(y^2-1)}.$$
Далее
$$y^2-1=(y-1)(y+1),$$
поэтому
$$\sqrt{(y+1)(y-1)(y+1)}=\sqrt{(y+1)^2(y-1)}=(y+1)\sqrt{y-1}.$$
При $$y\ge 1$$ это выражение определено.
Ответ
а) $$3$$; б) $$3b-5$$; в) $$1-x$$; г) $$(y+1)\sqrt{y-1}$$.
