Упр.910 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Докажите, что выражение $$\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}$$ равно $$2\sqrt{x-1}$$, если $$x>2$$, и равно $$2$$, если $$x\le 2$$.
- Сравните числа: а) $$11^{1/3}$$ и $$119^{1/6}$$; в) $$\left(\sqrt{2}\right)^{1/3}$$ и $$\sqrt{3^{1/3}}$$; д) $$7^{1/3}$$ и $$\sqrt{3\left(2^{1/3}\right)}$$; б) $$27^{1/4}$$ и $$9^{1/3}$$; г) $$\left(\sqrt{27}\right)^{1/3}$$ и $$3^{1/3}$$; е) $$\left(5\left(5^{1/3}\right)\right)^{1/4}$$ и $$\left(9\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{1/3}\right)\right)^{1/5}$$.
а) $$\sqrt[3]{11} \text{ и } \sqrt[6]{119}$$
Приведём к одному показателю степени:
$$\sqrt[3]{11}=\sqrt[6]{11^2}=\sqrt[6]{121}$$
Так как $$121>119,$$ то
$$\sqrt[3]{11}>\sqrt[6]{119}.$$
б) $$\sqrt[4]{27} \text{ и } \sqrt[3]{9}$$
$$\sqrt[4]{27}=\sqrt[12]{27^3}=\sqrt[12]{3^9}$$
$$\sqrt[3]{9}=\sqrt[12]{9^4}=\sqrt[12]{3^8}$$
Так как $$3^9>3^8,$$ то
$$\sqrt[4]{27}>\sqrt[3]{9}.$$
в) $$\sqrt[3]{\sqrt{2}} \text{ и } \sqrt{\sqrt[3]{3}}$$
$$\sqrt[3]{\sqrt{2}}=\sqrt[3]{2^{1/2}}=2^{1/6}=\sqrt[6]{2}$$
$$\sqrt{\sqrt[3]{3}}=\left(3^{1/3}\right)^{1/2}=3^{1/6}=\sqrt[6]{3}$$
Так как $$2<3,$$ то
$$\sqrt[3]{\sqrt{2}}<\sqrt{\sqrt[3]{3}}.$$
г) $$\sqrt[3]{\sqrt{27}} \text{ и } \sqrt[3]{3}$$
$$\sqrt[3]{\sqrt{27}}=\sqrt[3]{27^{1/2}}=27^{1/6}=\sqrt[6]{27}=\sqrt[6]{3^3}$$
$$\sqrt[3]{3}=3^{1/3}=\sqrt[6]{3^2}$$
Так как $$3^3>3^2,$$ то
$$\sqrt[3]{\sqrt{27}}>\sqrt[3]{3}.$$
д) $$\sqrt[3]{7} \text{ и } \sqrt[3]{3\sqrt[3]{2}}$$
$$\sqrt[3]{7}=\sqrt[6]{49}$$
$$\sqrt[3]{3\sqrt[3]{2}}=\sqrt[3]{3\cdot 2^{1/3}}=\sqrt[6]{3^3\cdot 2}=\sqrt[6]{54}$$
Так как $$49<54,$$ то
$$\sqrt[3]{7}<\sqrt[3]{3\sqrt[3]{2}}.$$
е) $$\sqrt[4]{5\sqrt[3]{5}} \text{ и } \sqrt[5]{9\sqrt[3]{\frac13}}$$
$$\sqrt[4]{5\sqrt[3]{5}}=\sqrt[4]{5\cdot 5^{1/3}}=\sqrt[4]{5^{4/3}}=5^{1/3}=\sqrt[3]{5}$$
$$\sqrt[5]{9\sqrt[3]{\frac13}}=\sqrt[5]{3^2\cdot 3^{-1/3}}=\sqrt[5]{3^{5/3}}=3^{1/3}=\sqrt[3]{3}$$
Так как $$5>3,$$ то
$$\sqrt[4]{5\sqrt[3]{5}}>\sqrt[5]{9\sqrt[3]{\frac13}}.$$
Ответ
а) $$\sqrt[3]{11}>\sqrt[6]{119}$$; б) $$\sqrt[4]{27}>\sqrt[3]{9}$$; в) $$\sqrt[3]{\sqrt{2}}<\sqrt{\sqrt[3]{3}}$$; г) $$\sqrt[3]{\sqrt{27}}>\sqrt[3]{3}$$; д) $$\sqrt[3]{7}<\sqrt[3]{3\sqrt[3]{2}}$$; е) $$\sqrt[4]{5\sqrt[3]{5}}>\sqrt[5]{9\sqrt[3]{\frac13}}$$.
