Упр.907 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 907. Геометрическая прогрессия состоит из четырех членов. Сумма крайних её членов равна 45, а произведение средних равно 200. Найдите первый член и знаменатель этой прогрессии.

Пусть члены геометрической прогрессии равны $$b_1,\; b_2,\; b_3,\; b_4,$$ а её знаменатель равен $$q.$$ Тогда

$$b_2=b_1q,\quad b_3=b_1q^2,\quad b_4=b_1q^3.$$

По условию:

$$b_1+b_4=45,\qquad b_2\cdot b_3=200.$$

Из второго равенства получаем:

$$\left(b_1q\right)\left(b_1q^2\right)=200,$$

$$b_1^2q^3=200.$$

Тогда

$$q^3=\frac{200}{b_1^2}.$$

Подставим это в первое равенство:

$$b_1+b_1q^3=45,$$

$$b_1+\frac{200}{b_1}=45.$$

Умножим на $$b_1$$:

$$b_1^2-45b_1+200=0.$$

Найдём корни:

$$D=45^2-4\cdot 200=2025-800=1225,$$

$$\sqrt{D}=35.$$

Тогда

$$b_1=\frac{45-35}{2}=5,\qquad b_1=\frac{45+35}{2}=40.$$

Найдём знаменатель прогрессии.

Если $$b_1=5,$$ то

$$q^3=\frac{200}{5^2}=8,\qquad q=2.$$

Если $$b_1=40,$$ то

$$q^3=\frac{200}{40^2}=\frac{1}{8},\qquad q=\frac{1}{2}.$$

Ответ

$$b_1=5,\ q=2$$ или $$b_1=40,\ q=\frac{1}{2}.$$