Упр.906 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
Упростите выражение:
а) $$\left(\left(\frac{a^{1/2}+b^{1/2}}{a^{3/2}+b^{3/2}}\right)^{-1}-(a^{1/2}-b^{1/2})^2\right)\cdot(\sqrt{b})^{-1}$$;
б) $$\left(\frac{2+x^{1/4}}{2-x^{1/4}}-\frac{2-x^{1/4}}{2+x^{1/4}}\right)\cdot\frac{4-\sqrt{x}}{(x^3)^{1/4}}$$;
в) $$\left(\frac{x^{3/2}-a}{x^{1/2}-a^{1/3}}+a^{1/3}x^{1/2}\right)\cdot\left(x+a^{1/3}x^{1/2}\right)^{-1}-a^{1/3}x^{-1/2}$$;
г) $$\left(\frac{a^{0,5}+b^{0,5}}{(a+b)^{0,5}}-\frac{(a+b)^{0,5}}{a^{0,5}+b^{0,5}}\right)^{-2}-\frac{a+b}{2\sqrt{ab}}$$.
Решите систему уравнений:
$$\left\{\begin{aligned} x^2+y^2&=2,5xy,\\ x-y&=0,25xy. \end{aligned}\right.$$
Из второго уравнения выразим произведение:
$$x-y=0,25xy \;\Rightarrow\; xy=4(x-y).$$
Подставим это в первое уравнение:
$$x^2+y^2=2,5xy=2,5\cdot 4(x-y)=10(x-y).$$
Удобнее воспользоваться заменой через разность и произведение:
$$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2.$$
Из первого уравнения и выражения для $$xy$$ получаем:
$$x^2+y^2=2,5xy \;\Rightarrow\; x^2-2xy+y^2=0,5xy.$$
Но
$$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2,$$
значит
$$(x-y)^2=0,5xy.$$
Из второго уравнения имеем $$x-y=0,25xy.$$ Тогда возможны два случая.
1) $$x-y=0.$$
Тогда из $$x-y=0,25xy$$ получаем $$0,25xy=0,$$ то есть $$xy=0.$$
При $$x=y$$ и $$xy=0$$ получаем $$x=y=0.$$
Получаем решение: $$(0;0).$$
2) $$x-y\ne 0.$$
Подставим $$y=x-2$$ в уравнение $$x-y=0,25xy$$:
$$2=0,25x(x-2).$$
Умножим на 4:
$$8=x(x-2),$$
$$x^2-2x-8=0.$$
$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-8)=36.$$
$$x_{1,2}=\frac{2\pm 6}{2}.$$
Тогда
$$x_1=-2,\quad y_1=-4;$$
$$x_2=4,\quad y_2=2.$$
Проверка показывает, что обе пары удовлетворяют системе.
Ответ
$$(0;0),\;(-2;-4),\;(4;2).$$
