Упр.906 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 906. Решите систему уравнений {x^2+y^2=2,5xy, x-y=0,25xy}.

Из второго уравнения выразим произведение:

$$x-y=0,25xy \;\Rightarrow\; xy=4(x-y).$$

Подставим это в первое уравнение:

$$x^2+y^2=2,5xy=2,5\cdot 4(x-y)=10(x-y).$$

Удобнее воспользоваться заменой через разность и произведение:

$$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2.$$

Из первого уравнения и выражения для $xy$ получаем:

$$x^2+y^2=2,5xy \;\Rightarrow\; x^2-2xy+y^2=0,5xy.$$

Но

$$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2,$$

значит

$$ (x-y)^2=0,5xy.$$

Из второго уравнения имеем $$x-y=0,25xy.$$ Тогда возможны два случая.

1) $$x-y=0.$$

Тогда из $$x-y=0,25xy$$ получаем $$0,25xy=0,$$ то есть $$xy=0.$$

При $$x=y$$ и $$xy=0$$ получаем $$x=y=0.$$

Получаем решение: $$ (0;0). $$

2) $$x-y\ne 0.$$

Подставим $$y=x-2$$ в уравнение $$x-y=0,25xy$$:

$$2=0,25x(x-2).$$

Умножим на 4:

$$8=x(x-2),$$

$$x^2-2x-8=0.$$

$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-8)=36.$$

$$x_{1,2}=\frac{2\pm 6}{2}.$$

Тогда

$$x_1=-2,\quad y_1=-4;$$

$$x_2=4,\quad y_2=2.$$

Проверка показывает, что обе пары удовлетворяют системе.

Ответ

$$ (0;0),\;(-2;-4),\;(4;2). $$