Упр.903 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Зная, что $$n$$ — натуральное число, большее 1, упростите выражение:
   а) $$\left(125^n-61\cdot125^{n-1}\right)^{1/3}$$;
   б) $$\left(81^{n+1}-65\cdot81^n\right)^{1/4}$$.
2. Найдите $$n$$, зная, что график функции $$y=x^{1/n}$$ проходит через точку:
   а) $$A(32; 2)$$;
   б) $$B\left(-\frac{1}{128};-\frac{1}{2}\right)$$;
   в) $$C(1; 1)$$;
   г) $$D(-1; -1)$$.

1. а) Для точки $$A(32; 2)$$ имеем:

   $$32^{\frac{1}{n}}=2.$$

   Возведём обе части в степень $$n$$:

   $$32=2^n.$$

   Так как $$32=2^5$$, то $$n=5$$.

2. б) Для точки $$B\left(-\frac{1}{128}; -\frac{1}{2}\right)$$:

   $$\left(-\frac{1}{128}\right)^{\frac{1}{n}}=-\frac{1}{2}.$$

   Возведём обе части в степень $$n$$:

   $$-\frac{1}{128}=\left(-\frac{1}{2}\right)^n.$$

   Так как $$-\frac{1}{128}=\left(-\frac{1}{2}\right)^7$$, получаем $$n=7$$.

3. в) Для точки $$C(1; 1)$$:

   $$1^{\frac{1}{n}}=1.$$

   Это верно при любом допустимом $$n$$, значит $$n$$ — любое натуральное число.

4. г) Для точки $$D(-1; -1)$$:

   $$(-1)^{\frac{1}{n}}=-1.$$

   Это возможно только при нечётном $$n$$, так как корень нечётной степени из отрицательного числа отрицателен.

Ответ

а) $$5$$; б) $$7$$; в) любое натуральное число; г) нечётное натуральное число.