Упр.901 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Упростите выражение $$\left(a+\sqrt{x}\right)^{-\frac{1}{2}}+\left(a-\sqrt{x}\right)^{-\frac{1}{2}}$$, если $$x=4(a-1)$$, рассмотрите случаи, когда: а) $$12$$.
2. Найдите область определения функции: а) $$y=-\left(\frac{2x}{x^2-1}\right)^{\frac{1}{4}}$$; в) $$y=-x+\left(\frac{|2x-1|}{x^2}\right)^{\frac{1}{6}}$$; б) $$y=2x+\left(\frac{2x}{x^2-1}\right)^{\frac{1}{5}}$$; г) $$y=\left(|2x-1|-2\right)^{\frac{1}{8}}$$.

1. а) $$y=-\left(\frac{2x}{x^2-1}\right)^{\frac14}$$

   Для существования четвёртого корня нужно:

   $$\frac{2x}{x^2-1}\ge 0,\qquad x^2-1\ne 0.$$

   Решим неравенство:

   $$\frac{2x}{(x-1)(x+1)}\ge 0.$$

   Критические точки: $$x=-1,\;0,\;1.$$

   Знак дроби неотрицателен на промежутках $$(-1;0]$$ и $$(1;+\infty).$$

2. б) $$y=2x+\left(\frac{2x}{x^2-1}\right)^{\frac15}$$

   Для корня нечётной степени ограничение только одно: подкоренное выражение должно быть определено, значит

   $$x^2-1\ne 0.$$

   Отсюда

   $$x\ne -1,\qquad x\ne 1.$$

   Следовательно,

   $$D(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty).$$

3. в) $$y=-x+\left(\frac{|2x-1|}{x^2}\right)^{\frac16}$$

   Для существования шестого корня нужно:

   $$\frac{|2x-1|}{x^2}\ge 0,\qquad x^2\ne 0.$$

   Так как $$|2x-1|\ge 0$$ при любых $$x,$$ то остаётся только условие

   $$x\ne 0.$$

   Значит,

   $$D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$

4. г) $$y=\left(|2x-1|-2\right)^{\frac18}$$

   Для восьмого корня нужно:

   $$|2x-1|-2\ge 0.$$

   Тогда

   $$|2x-1|\ge 2.$$

   Решим модульное неравенство:

   $$2x-1\le -2 \quad \text{или} \quad 2x-1\ge 2.$$

   Получаем:

   $$2x\le -1 \quad \text{или} \quad 2x\ge 3,$$

   $$x\le -\frac12 \quad \text{или} \quad x\ge \frac32.$$

   Следовательно,

   $$D(y)=(-\infty;-\tfrac12]\cup[\tfrac32;+\infty).$$

Ответ

а) $$(-1;0]\cup(1;+\infty)$$; б) $$(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)$$; в) $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$; г) $$(-\infty;-\tfrac12]\cup[\tfrac32;+\infty).$$