Упр.898 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Докажите, что значение выражения не зависит от $$n$$ ($$n\in\mathbb{Z}$$):
а) $$\frac{\left(25^n-25^{2n-2}\right)^{1/2}}{\left(125^{n-1}-61\cdot5^{3n-6}\right)^{1/3}}$$;
б) $$\frac{\left(16^{n-1}-16^{n-2}\right)^{1/4}}{\left(8^{n-2}+7\cdot8^{n-3}\right)^{1/3}}$$. - Постройте график функции:
а) $$y=x^{1/3}$$;
б) $$y=x^{1/4}$$;
в) $$y=|x|^{1/3}$$;
г) $$y=(-x)^{1/n}$$;
д) $$y=-\left||x|^{1/3}\right|$$;
е) $$y=2-(x+1)^{1/4}$$.
Для построения графиков удобно взять за основу графики степенных функций и выполнить соответствующие преобразования.
$$y=\sqrt[3]{x}$$
Это стандартный график кубического корня. Он проходит через точки $$(-8,-2)$$, $$(-1,-1)$$, $$(0,0)$$, $$(1,1)$$, $$(8,2)$$.
$$y=\sqrt[4]{x}$$
График определён только при $$x\ge 0$$. Он проходит через точки $$(0,0)$$, $$(1,1)$$, $$(16,2)$$.
$$y=\sqrt[3]{|x|}$$
Заменяем в графике $$y=\sqrt[3]{x}$$ аргумент на $$|x|$$. Получаем чётный график, симметричный относительно оси $$Oy$$:
$$y=\begin{cases}\sqrt[3]{x}, & x\ge 0,\\ \sqrt[3]{-x}, & x<0.\end{cases}$$
$$y=\sqrt[4]{-x}$$
Это отражение графика $$y=\sqrt[4]{x}$$ относительно оси $$Oy$$. Область определения: $$x\le 0$$.
$$y=-\left|\sqrt[3]{|x|}\right|$$
Так как $$\sqrt[3]{|x|}\ge 0$$, то модуль можно убрать:
$$y=-\sqrt[3]{|x|}.$$
График получается отражением графика $$y=\sqrt[3]{|x|}$$ относительно оси $$Ox$$.
$$y=2-\sqrt[4]{x+1}$$
Сначала график $$y=\sqrt[4]{x}$$ сдвигаем на 1 единицу влево, затем отражаем относительно оси $$Ox$$ и поднимаем на 2 единицы вверх.
Область определения: $$x+1\ge 0$$, то есть $$x\ge -1$$.
Ответ
Графики функций построены по указанным преобразованиям: для $$y=\sqrt[3]{x}$$ и $$y=\sqrt[4]{x}$$ — стандартные графики корней; для $$y=\sqrt[3]{|x|}$$ и $$y=\sqrt[4]{-x}$$ — соответствующие отражения; для $$y=-\left|\sqrt[3]{|x|}\right|$$ — отражение относительно оси $$Ox$$; для $$y=2-\sqrt[4]{x+1}$$ — сдвиг, отражение и перенос вверх.
