Упр.897 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) f(x)=x^(1/3), где x?[-8; 27];
б) f(x)=x^(1/4), где x?[1/16; 10 000];
в) f(x)=x^(1/4), где x?[1; 16];
г) f(x)=x^(1/5), где x?[-1/32; 32].

Подробный ответ

Функции вида $$y=\sqrt[n]{x}$$ при нечётном $$n$$ возрастают на всей области определения, а при чётном $$n$$ возрастают на промежутках, где определены. Поэтому множество значений на заданном промежутке находим по значениям функции на его концах.

а) $$f(x)=x^{1/3}, \quad x\in[-8;27].$$
Так как функция $$y=\sqrt[3]{x}$$ возрастает, то
$$ f(-8)=\sqrt[3]{-8}=-2,\qquad f(27)=\sqrt[3]{27}=3. $$
Следовательно,
$$ E(f)=[-2;3]. $$
б) $$f(x)=x^{1/4}, \quad x\in\left[\frac{1}{16};10000\right].$$
Функция $$y=\sqrt[4]{x}$$ возрастает, поэтому
$$ f\left(\frac{1}{16}\right)=\sqrt[4]{\frac{1}{16}}=\sqrt[4]{\frac{1}{2^4}}=\frac{1}{2}, \qquad f(10000)=\sqrt[4]{10^4}=10. $$
Значит,
$$ E(f)=\left[\frac{1}{2};10\right]. $$
в) $$f(x)=x^{1/4}, \quad x\in[1;16].$$
Так как $$y=\sqrt[4]{x}$$ возрастает, то
$$ f(1)=\sqrt[4]{1}=1,\qquad f(16)=\sqrt[4]{16}=\sqrt[4]{2^4}=2. $$
Следовательно,
$$ E(f)=[1;2]. $$
г) $$f(x)=x^{1/5}, \quad x\in\left[-\frac{1}{32};32\right].$$
Функция $$y=\sqrt[5]{x}$$ возрастает, поэтому
$$ f\left(-\frac{1}{32}\right)=\sqrt[5]{-\frac{1}{32}}=-\frac{1}{2}, \qquad f(32)=\sqrt[5]{32}=\sqrt[5]{2^5}=2. $$
Значит,
$$ E(f)=\left[-\frac{1}{2};2\right]. $$