Упр.891 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

• Используя графики функций $$y=x^{1/2}$$, $$y=x^{1/3}$$ и $$y=x^{1/4}$$ (см. рис. 101 на с. 224), сравните числа: а) $$0{,}5^{1/2}$$ и $$0{,}5^{1/3}$$; б) $$0{,}5^{1/3}$$ и $$0{,}5^{1/4}$$; в) $$1{,}5^{1/2}$$ и $$1{,}5^{1/3}$$; г) $$1{,}5^{1/3}$$ и $$1{,}5^{1/4}$$.
• Упростите выражение $$\frac{\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}}{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}}-\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x}$$.

Преобразуем первую дробь, умножив числитель и знаменатель на сопряжённое выражение:

$$\frac{\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}}{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}} = \frac{(\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x})^2}{(a+x)-(a-x)}$$

$$= \frac{a+x+2\sqrt{(a+x)(a-x)}+a-x}{2x} = \frac{2a+2\sqrt{a^2-x^2}}{2x} = \frac{a+\sqrt{a^2-x^2}}{x}$$

Тогда всё выражение равно:

$$\frac{a+\sqrt{a^2-x^2}}{x}-\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x} = \frac{a}{x}$$

Ответ

$$\frac{a}{x}$$