Упр.889 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 889. Найдите сумму всех несократимых дробей со знаменателем 5, принадлежащих промежутку [0,2; 6,4].

Несократимые дроби со знаменателем 5 имеют вид $$\frac{n}{5}$$, где $$n$$ не делится на 5.

Найдём, какие из них попадают в промежуток $$[0{,}2; 6{,}4]$$:

$$0{,}2 \le \frac{n}{5} \le 6{,}4$$

Умножим неравенство на 5:

$$1 \le n \le 32$$

Значит, нужно найти сумму всех дробей $$\frac{n}{5}$$ при $$n=1,2,\dots,32$$, кроме тех, где $$n=5,10,15,20,25,30$$.

Сначала найдём сумму всех дробей:

$$S_{32}=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}+\cdots+\frac{32}{5}$$

Это арифметическая прогрессия с $$a_1=\frac{1}{5}=0{,}2$$, $$d=\frac{1}{5}=0{,}2$$, поэтому

$$S_{32}=\frac{a_1+a_{32}}{2}\cdot 32=\frac{0{,}2+6{,}4}{2}\cdot 32=105{,}6$$

Теперь вычтем дроби, которые сокращаются:

$$\frac{5}{5},\ \frac{10}{5},\ \frac{15}{5},\ \frac{20}{5},\ \frac{25}{5},\ \frac{30}{5}$$

Их сумма равна

$$1+2+3+4+5+6=21$$

Тогда искомая сумма:

$$105{,}6-21=84{,}6$$

Ответ

$$84{,}6$$