Упр.886 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 886. Докажите, что функции, заданные формулами y=1/(x-2), где x > 2 и y=(2x+1)/x, где x > 0, являются взаимно обратными функциями.

Рассмотрим первую функцию $$y=\frac{1}{x-2}, \quad x>2.$$ Тогда $$x-2>0,$$ значит $$y>0.$$

Найдём обратную к ней функцию:

$$ y=\frac{1}{x-2} $$
$$ x=\frac{1}{y-2} $$
$$ y-2=\frac{1}{x} $$
$$ y=\frac{2x+1}{x} $$

Получили вторую функцию $$y=\frac{2x+1}{x}, \quad x>0.$$

Проверим, что эти функции взаимно обратны. Для этого подставим одну формулу в другую:

$$ f(x)=\frac{1}{x-2}, \quad x>2 $$
$$ f^{-1}(x)=\frac{2x+1}{x}, \quad x>0 $$

Тогда

$$ f\!\left(f^{-1}(x)\right)=\frac{1}{\frac{2x+1}{x}-2} =\frac{1}{\frac{2x+1-2x}{x}} =\frac{1}{\frac{1}{x}} =x, $$

а также

$$ f^{-1}\!\left(f(x)\right)=\frac{2\cdot \frac{1}{x-2}+1}{\frac{1}{x-2}} =\frac{\frac{2+x-2}{x-2}}{\frac{1}{x-2}} =\frac{\frac{x}{x-2}}{\frac{1}{x-2}} =x. $$

Следовательно, данные функции являются взаимно обратными.

Ответ

Функции $$y=\frac{1}{x-2}, \ x>2$$ и $$y=\frac{2x+1}{x}, \ x>0$$ являются взаимно обратными.