Упр.886 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

Представьте арифметический корень в виде степени с рациональным показателем ($$a>0,\ n\in\mathbb{N}$$):
а) $$\sqrt{29}$$; б) $$(5^2)^{\frac{1}{3}}$$; в) $$(3^{-1})^{\frac{1}{4}}$$; г) $$(7^{-2})^{\frac{1}{5}}$$; д) $$(a^2)^{\frac{1}{n}}$$; е) $$(a^{-3})^{\frac{1}{n}}$$; ж) $$((a+2)^5)^{\frac{1}{n}}$$; з) $$((a+5)^{-4})^{\frac{1}{n}}$$.
Докажите, что функции, заданные формулами $$y=\frac{1}{x-2},\quad x>2$$ и $$y=\frac{2x+1}{x},\quad x>0$$, являются взаимно обратными функциями.

Подробный ответ

Рассмотрим первую функцию $$y=\frac{1}{x-2}, \quad x>2.$$ Тогда $$x-2>0,$$ значит $$y>0.$$

Найдём обратную к ней функцию:

$$y=\frac{1}{x-2}$$
$$x=\frac{1}{y-2}$$
$$y-2=\frac{1}{x}$$
$$y=\frac{2x+1}{x}$$

Получили вторую функцию $$y=\frac{2x+1}{x}, \quad x>0.$$

Проверим, что эти функции взаимно обратны. Для этого подставим одну формулу в другую:

$$f(x)=\frac{1}{x-2}, \quad x>2$$
$$f^{-1}(x)=\frac{2x+1}{x}, \quad x>0$$

Тогда

$$f\!\left(f^{-1}(x)\right)=\frac{1}{\frac{2x+1}{x}-2} =\frac{1}{\frac{2x+1-2x}{x}} =\frac{1}{\frac{1}{x}} =x,$$

а также

$$f^{-1}\!\left(f(x)\right)=\frac{2\cdot \frac{1}{x-2}+1}{\frac{1}{x-2}} =\frac{\frac{2+x-2}{x-2}}{\frac{1}{x-2}} =\frac{\frac{x}{x-2}}{\frac{1}{x-2}} =x.$$

Следовательно, данные функции являются взаимно обратными.