Упр.884 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

Упростите выражение $$\left(\frac{3}{25-x^2}+\frac{1}{x^2-10x+25}\right)\cdot\frac{(x-5)^2}{2}+\frac{3x}{x+5}$$.
Постройте график функции, обратной функции:
а) $$y=\frac{2}{3}x-1$$, где $$-3\leqslant x\leqslant 6$$;
б) $$y=x^2$$, где $$x\geqslant 0$$;
в) $$y=\sqrt{x}$$;
г) $$y=\sqrt{-x}$$.

Подробный ответ

а) Для функции $$y=\frac{2}{3}x-1,\quad -3\le x\le 6$$ найдём несколько точек:
$$x=-3 \Rightarrow y=\frac{2}{3}\cdot(-3)-1=-3,$$
$$x=6 \Rightarrow y=\frac{2}{3}\cdot 6-1=3.$$
График — отрезок прямой, проходящий через точки $$(-3,-3)$$ и $$(6,3)$$.
Обратная функция находится заменой переменных:
$$y=\frac{2}{3}x-1$$
$$x=\frac{2}{3}y-1$$
$$x+1=\frac{2}{3}y$$
$$y=\frac{3}{2}(x+1)=\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}.$$
Так как у исходной функции $$-3\le x\le 6,$$ то область значений: $$-3\le y\le 3.$$ Значит, для обратной функции:
$$-3\le x\le 3.$$
б) Для функции $$y=x^2,\quad x\le 0$$ берём точки:
$$x=-2 \Rightarrow y=4,\quad x=-1 \Rightarrow y=1,\quad x=0 \Rightarrow y=0.$$
График — левая ветвь параболы.
Обратная функция:
$$y=x^2,\quad x\le 0$$
$$x=y^2,\quad y\le 0$$
$$y=-\sqrt{x}.$$
Область определения обратной функции: $$x\ge 0.$$
в) Для функции $$y=\sqrt{x},\quad x\ge 0$$ возьмём точки:
$$x=0 \Rightarrow y=0,\quad x=1 \Rightarrow y=1,\quad x=4 \Rightarrow y=2.$$
Обратная функция получается заменой переменных:
$$y=\sqrt{x}$$
$$x=\sqrt{y}$$
$$y=x^2.$$
Так как у исходной функции $$x\ge 0,$$ то и у обратной функции $$x\ge 0.$$
г) Для функции $$y=\sqrt{-x},\quad x\le 0$$ найдём точки:
$$x=-4 \Rightarrow y=2,\quad x=-1 \Rightarrow y=1,\quad x=0 \Rightarrow y=0.$$
Обратная функция:
$$y=\sqrt{-x}$$
$$x=\sqrt{-y}$$
$$x^2=-y$$
$$y=-x^2.$$
Так как у исходной функции $$y\ge 0,$$ то для обратной функции $$x\ge 0.$$