Упр.879 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) y=x^2, где D(f)=[3; 7|;
б) y=5x-8, где D(f)=[-3; 12];
в) y=x^2-1, где D(f)=[-2; 3];
г) y=6/x, где D(f)=[-6; 1].
Является ли функция f обратимой? В случае положительного ответа задайте функцию g, обратную функции f, формулой и укажите область её определения.

Подробный ответ

а) $$y=x^2,\quad D(f)=[3;7].$$
На отрезке $$[3;7]$$ функция $$y=x^2$$ возрастает, значит, она обратима.
Найдём область значений:
$$y(3)=9,\quad y(7)=49,$$
значит, $$E(f)=[9;49].$$
Для обратной функции:
$$x=y^2,\quad y=\sqrt{x}.$$
Следовательно, $$g(x)=\sqrt{x},\quad D(g)=[9;49].$$
б) $$y=5x-8,\quad D(f)=[-3;12].$$
Линейная функция с ненулевым коэффициентом обратима.
Найдём область значений:
$$y(-3)=5\cdot(-3)-8=-23,\quad y(12)=5\cdot 12-8=52,$$
значит, $$E(f)=[-23;52].$$
Найдём обратную функцию:
$$x=5y-8,$$
$$5y=x+8,\quad y=\frac{x+8}{5}.$$
Следовательно, $$g(x)=\frac{x+8}{5},\quad D(g)=[-23;52].$$
в) $$y=x^2-1,\quad D(f)=[-2;3].$$
Функция не является обратимой, так как на данном промежутке не является взаимно однозначной:
$$y(-1)=(-1)^2-1=0,\quad y(1)=1^2-1=0.$$
Разным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции.
г) $$y=\frac{6}{x},\quad D(f)=[-6;1].$$
Так как $$x=0$$ не входит в область определения, рассматриваем промежутки $$[-6;0)$$ и $$ (0;1].$$ На каждом из них функция монотонна, но на всём множестве $$[-6;1]$$ она не является взаимно однозначной, поскольку значения на разных частях области определения могут совпадать:
$$y(-6)=-1,\quad y(1)=6.$$
При этом функция принимает и отрицательные, и положительные значения, а значит, на заданной области определения обратимой не является.