Упр.873 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 873. Найдите сумму первых пяти членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, второй член которой равен 1/3, а отношение суммы последовательности, составленной из квадратов её членов, к сумме этой последовательности равно 3/4.

Пусть первый член геометрической прогрессии равен $$b_1$$, а знаменатель — $$q$$. Тогда

$$b_2=b_1q=\frac13.$$

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии из квадратов её членов равна

$$\frac{b_1^2}{1-q^2},$$

а сумма самой прогрессии равна

$$\frac{b_1}{1-q}.$$

По условию

$$\frac{\frac{b_1^2}{1-q^2}}{\frac{b_1}{1-q}}=\frac34.$$

Упростим:

$$\frac{b_1}{1+q}=\frac34.$$

Так как $$b_1=\frac{1}{3q}$$, получаем

$$\frac{1}{3q(1+q)}=\frac34,$$

$$4=9q(1+q),$$

$$9q^2+9q-4=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=9^2-4\cdot 9\cdot(-4)=81+144=225,$$

$$q=\frac{-9\pm 15}{18}.$$

Получаем два корня:

$$q_1=\frac13,\qquad q_2=-\frac43.$$

Так как прогрессия бесконечно убывающая, то $$|q|<1$$, значит

$$q=\frac13.$$

Тогда

$$b_1=\frac{1}{3q}=\frac{1}{3\cdot \frac13}=1.$$

Найдём сумму первых пяти членов:

$$S_5=\frac{b_1(1-q^5)}{1-q}=\frac{1\left(1-\left(\frac13\right)^5\right)}{1-\frac13}.$$

$$S_5=\frac{1-\frac1{243}}{\frac23}=\frac{242}{243}\cdot \frac32=\frac{121}{81}.$$

Ответ

$$\frac{121}{81}$$