Упр.873 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Внесите множитель под знак корня: а) $$a\sqrt[3]{2}$$, где $$a?0$$; б) $$b\sqrt[4]{3}$$, где $$b<0$$; в) $$c\sqrt[3]{5}$$, где $$c<0$$; г) $$x\sqrt[5]{\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^5}}$$, где $$x>0$$; д) $$y\sqrt[6]{\frac{1}{y^6}-\frac{1}{y^4}}$$, где $$y>0$$; е) $$z\sqrt{\frac{1}{z^3}-\frac{1}{z^2}}$$, где $$z>0$$.
- Найдите сумму первых пяти членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, второй член которой равен $$\frac{1}{3}$$, а отношение суммы последовательности, составленной из квадратов её членов, к сумме этой последовательности равно $$\frac{3}{4}$$.
Пусть первый член геометрической прогрессии равен $$b_1$$, а знаменатель — $$q$$. Тогда
$$b_2=b_1q=\frac13.$$
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии из квадратов её членов равна
$$\frac{b_1^2}{1-q^2},$$
а сумма самой прогрессии равна
$$\frac{b_1}{1-q}.$$
По условию
$$\frac{\frac{b_1^2}{1-q^2}}{\frac{b_1}{1-q}}=\frac34.$$
Упростим:
$$\frac{b_1}{1+q}=\frac34.$$
Так как $$b_1=\frac{1}{3q}$$, получаем
$$\frac{1}{3q(1+q)}=\frac34,$$
$$4=9q(1+q),$$
$$9q^2+9q-4=0.$$
Решим квадратное уравнение:
$$D=9^2-4\cdot 9\cdot(-4)=81+144=225,$$
$$q=\frac{-9\pm 15}{18}.$$
Получаем два корня:
$$q_1=\frac13,\qquad q_2=-\frac43.$$
Так как прогрессия бесконечно убывающая, то $$|q|<1$$, значит
$$q=\frac13.$$
Тогда
$$b_1=\frac{1}{3q}=\frac{1}{3\cdot \frac13}=1.$$
Найдём сумму первых пяти членов:
$$S_5=\frac{b_1(1-q^5)}{1-q}=\frac{1\left(1-\left(\frac13\right)^5\right)}{1-\frac13}.$$
$$S_5=\frac{1-\frac1{243}}{\frac23}=\frac{242}{243}\cdot \frac32=\frac{121}{81}.$$
Ответ
$$\frac{121}{81}$$
