Упр.872 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Найдите два последовательных натуральных числа, между которыми заключено число: а) $$\sqrt{5}$$; б) $$\sqrt{7}$$; в) $$2^{\frac{1}{3}}$$; г) $$3^{\frac{1}{4}}$$.
2. Известно, что сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна $$64$$, а сумма первых четырёх членов этой прогрессии равна $$63\frac{3}{4}$$. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Пусть первый член геометрической прогрессии равен $$b_1$$, а знаменатель — $$q$$. Так как прогрессия бесконечно убывающая, то $$|q|<1$$.

По формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии имеем:

$$\frac{b_1}{1-q}=64,$$

откуда

$$b_1=64(1-q).$$

Сумма первых четырёх членов:

$$S_4=\frac{b_1(1-q^4)}{1-q}=63\frac{3}{4}=\frac{255}{4}.$$

Подставим $$b_1=64(1-q)$$:

$$\frac{64(1-q)(1-q^4)}{1-q}=\frac{255}{4},$$

$$64(1-q^4)=\frac{255}{4},$$

$$1-q^4=\frac{255}{256},$$

$$q^4=\frac{1}{256}.$$

Так как $$|q|<1$$, получаем:

$$q=\pm \frac{1}{4}.$$

Найдём $$b_1$$:

при $$q=\frac{1}{4}$$

$$b_1=64\left(1-\frac{1}{4}\right)=48,$$

при $$q=-\frac{1}{4}$$

$$b_1=64\left(1+\frac{1}{4}\right)=80.$$

Проверка показывает, что оба значения подходят.

Ответ

$$b_1=80,\ q=-\frac{1}{4}$$ или $$b_1=48,\ q=\frac{1}{4}.$$