Упр.870 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 870. Известно, что (a_n) — сходящаяся последовательность. При каком условии последовательность a_1, 0, a_2, 0, a_3, 0, …, a_n, 0, … является сходящейся?

Обозначим новую последовательность через $$x_n$$:

$$x_1=a_1,\quad x_2=0,\quad x_3=a_2,\quad x_4=0,\quad \ldots$$

Рассмотрим её члены с чётными и нечётными номерами:

если $$n=2k$$, то $$x_n=0$$, значит
$$\lim_{k\to\infty} x_{2k}=0;$$

если $$n=2k-1$$, то $$x_n=a_k$$, значит
$$\lim_{k\to\infty} x_{2k-1}=\lim_{k\to\infty} a_k.$$

Чтобы вся последовательность $$x_n$$ была сходящейся, должны совпадать пределы её чётной и нечётной подпоследовательностей. Так как предел чётной подпоследовательности равен $$0$$, необходимо и достаточно, чтобы

$$\lim_{n\to\infty} a_n=0.$$

Ответ

Последовательность $$a_1,0,a_2,0,a_3,0,\ldots$$ является сходящейся тогда и только тогда, когда $$\lim_{n\to\infty} a_n=0$$.