Упр.869 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Упростите выражение: а) $$\sqrt{a^2}$$, где $$a?0$$; б) $$\left(4b^4\right)^{\frac{1}{4}}$$, где $$b?0$$; в) $$\left(x^6y^6\right)^{\frac{1}{6}}$$, где $$x?0$$, $$y?0$$.
2. Верно ли, что предел последовательности $$\left(u_n\right)$$ равен нулю, если: а) $$u_n=\frac{1}{6^n}$$; б) $$u_n=\frac{(-1)^n}{n+6}$$; в) $$u_n=(-1)^n\ 3+3?$$?

а) $$u_n=\frac{1}{6^n}$$

При $$n \to \infty$$ знаменатель $$6^n \to \infty$$, поэтому

$$\lim_{n\to\infty} u_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{6^n}=0.$$

Значит, предел равен нулю.

б) $$u_n=\frac{(-1)^n}{n+6}$$

Так как $$|(-1)^n|=1$$, а $$n+6 \to \infty$$, то

$$\left|u_n\right|=\frac{1}{n+6}\to 0.$$

Следовательно,

$$\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^n}{n+6}=0.$$

Значит, предел равен нулю.

в) $$u_n=(-1)^n\cdot 3+3$$

Если $$n=2k-1$$, то $$(-1)^n=-1$$ и

$$u_n=-3+3=0.$$

Если $$n=2k$$, то $$(-1)^n=1$$ и

$$u_n=3+3=6.$$

Последовательность принимает два разных значения и не имеет одного предела, значит, предел не равен нулю.

Ответ

а) да; б) да; в) нет.