Упр.868 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

Найдите значение дроби:
а) $$\frac{48^{1/4}}{3^{1/4}}$$;
б) $$\frac{2^{1/5}}{486^{1/5}}$$;
в) $$\frac{729^{1/6}}{1728^{1/3}}$$;
г) $$\frac{3125^{1/5}}{1024^{1/10}}$$;
д) $$\frac{(2\sqrt{2})^{1/6}}{\left(2\left(2^{1/4}\right)\right)^{1/5}}$$;
е) $$\frac{\left(5\left(5^{1/3}\right)\right)^{1/4}}{\left(5\left(25^{1/3}\right)\right)^{1/5}}$$.
Известно, что последовательность $$u_1, u_2, \ldots, u_n, \ldots$$ имеет предел, равный $$b$$. Является ли сходящейся последовательность:
а) $$u_5, u_6, u_7, \ldots, u_n, \ldots$$, полученная из данной последовательности путём отбрасывания первых четырёх членов;
б) $$p_1, p_2, p_3, p_4, u_1, u_2, u_3, \ldots, u_n, \ldots$$, полученная из данной последовательности добавлением первых четырёх членов?
При положительном ответе укажите, чему равен предел полученной последовательности.

Подробный ответ

Если последовательность $$u_1, u_2, \ldots, u_n, \ldots$$ имеет предел $$b$$, то при отбрасывании или добавлении конечного числа первых членов предел не изменяется.

а) Последовательность $$u_5, u_6, u_7, \ldots, u_n, \ldots$$ получается из исходной отбрасыванием первых четырёх членов, значит, она тоже сходится и

$$\lim_{n\to\infty} u_n = b.$$

б) Последовательность $$p_1, p_2, p_3, p_4, u_1, u_2, u_3, \ldots, u_n, \ldots$$ отличается от исходной только конечным числом первых членов, поэтому она также сходится и имеет тот же предел:

$$\lim_{n\to\infty} x_n = b.$$