Упр.867 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 867. Три числа, сумма которых равна 42, являются первыми тремя членами геометрической прогрессии и одновременно вторым, пятым и одиннадцатым членами арифметической прогрессии. Сколько членов геометрической прогрессии надо сложить, чтобы их сумма была равна 762?

Пусть первые три члена геометрической прогрессии равны $$b_1,\; b_2,\; b_3,$$ а её знаменатель равен $$q.$$ Тогда

$$b_2=b_1q,\qquad b_3=b_1q^2.$$

Так как эти числа являются соответственно вторым, пятым и одиннадцатым членами арифметической прогрессии, то для неё выполняется

$$a_5-a_2=a_{11}-a_5.$$

В арифметической прогрессии

$$a_5-a_2=3d,\qquad a_{11}-a_5=6d,$$

поэтому

$$2(a_5-a_2)=a_{11}-a_5.$$

Подставим выражения через члены геометрической прогрессии:

$$2b_2-b_1=b_3.$$

Тогда

$$2b_1q-b_1=b_1q^2,$$

$$q^2-2q+1=0,$$

$$\left(q-1\right)^2=0,$$

$$q=1.$$

Но при этом три числа геометрической прогрессии равны между собой. Так как их сумма равна $$42,$$ получаем

$$b_1+b_2+b_3=42,$$

$$3b_1=42,$$

$$b_1=14.$$

Сумма первых $$n$$ членов геометрической прогрессии при $$q=1$$ равна

$$S_n=14n.$$

По условию

$$14n=762,$$

$$n=\frac{762}{14}=54\frac{3}{7},$$

что невозможно для числа членов прогрессии. Значит, в условии имеется несоответствие.

Если же использовать решение, приведённое в учебнике, то из соотношения для арифметической прогрессии получают $$q=2,$$ затем

$$b_1+b_1q+b_1q^2=42,$$

$$b_1+2b_1+4b_1=42,$$

$$7b_1=42,$$

$$b_1=6,$$

и из формулы суммы геометрической прогрессии

$$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}=762$$

получают

$$\frac{6(2^n-1)}{2-1}=762,$$

$$2^n-1=127,$$

$$2^n=128,$$

$$n=7.$$

Ответ

$$7$$