Упр.866 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Сравните числа: а) $$11^{1/3}$$ и $$119^{1/6}$$; б) $$27^{1/4}$$ и $$9^{1/3}$$; в) $$\sqrt{2}^{\,1/3}$$ и $$\sqrt{3^{1/3}}$$; г) $$\sqrt{27}^{\,1/3}$$ и $$3^{1/3}$$; д) $$7^{1/3}$$ и $$\sqrt{3\left(2^{1/3}\right)}$$; е) $$\left(5\left(5^{1/3}\right)\right)^{1/4}$$ и $$\left(9\left((1/3)^{1/3}\right)\right)^{1/5}$$.
- Найдите число членов конечной возрастающей геометрической прогрессии, если известно, что сумма первого и последнего членов равна 9,9, произведение второго и предпоследнего членов равно 2,88, а сумма всех членов прогрессии равна 18,9.
Обозначим первый член геометрической прогрессии через $$b_1$$, знаменатель — через $$q$$. Тогда
$$b_n=b_1q^{n-1}, \quad b_2=b_1q, \quad b_{n-1}=b_1q^{n-2}.$$
По условию:
$$b_1+b_n=9{,}9,$$
$$b_2\cdot b_{n-1}=2{,}88,$$
$$S_n=18{,}9.$$
Из второго равенства получаем:
$$\left(b_1q\right)\left(b_1q^{n-2}\right)=2{,}88,$$
$$b_1^2q^{n-1}=2{,}88,$$
$$q^{n-1}=\frac{2{,}88}{b_1^2}.$$
Из первого равенства:
$$b_1+b_1q^{n-1}=9{,}9,$$
$$b_1\left(1+q^{n-1}\right)=9{,}9,$$
$$b_1\left(1+\frac{2{,}88}{b_1^2}\right)=9{,}9,$$
$$b_1^2-9{,}9b_1+2{,}88=0.$$
Решим квадратное уравнение:
$$D=9{,}9^2-4\cdot 2{,}88=98{,}01-11{,}52=86{,}49,$$
$$\sqrt{D}=9{,}3.$$
Тогда
$$b_1=\frac{9{,}9-9{,}3}{2}=0{,}3 \quad \text{или} \quad b_1=\frac{9{,}9+9{,}3}{2}=9{,}6.$$
Если $$b_1=0{,}3,$$ то
$$q^{n-1}=\frac{2{,}88}{0{,}3^2}=\frac{2{,}88}{0{,}09}=32.$$
Если $$b_1=9{,}6,$$ то
$$q^{n-1}=\frac{2{,}88}{9{,}6^2}=\frac{2{,}88}{92{,}16}=\frac{1}{32},$$
что не подходит для возрастающей прогрессии. Значит, $$b_1=0{,}3.$$
Теперь используем формулу суммы:
$$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}=18{,}9.$$
Подставим $$b_1=0{,}3$$ и $$q^{n-1}=32$$, тогда $$q^n=32q$$:
$$\frac{0{,}3(32q-1)}{q-1}=18{,}9.$$
Умножим на $$q-1$$:
$$0{,}3(32q-1)=18{,}9(q-1),$$
$$32q-1=63(q-1),$$
$$32q-1=63q-63,$$
$$31q=62,$$
$$q=2.$$
Тогда
$$q^{n-1}=32=2^5,$$
следовательно,
$$n-1=5,$$
$$n=6.$$
Ответ
$$6$$
