Упр.866 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 866. Найдите число членов конечной возрастающей геометрической прогрессии, если известно, что сумма первого и последнего членов равна 9,9, произведение второго и предпоследнего членов равно 2,88, а сумма всех членов прогрессии равна 18,9.

Обозначим первый член геометрической прогрессии через $$b_1$$, знаменатель — через $$q$$. Тогда

$$b_n=b_1q^{n-1}, \quad b_2=b_1q, \quad b_{n-1}=b_1q^{n-2}.$$

По условию:

$$b_1+b_n=9{,}9,$$

$$b_2\cdot b_{n-1}=2{,}88,$$

$$S_n=18{,}9.$$

Из второго равенства получаем:

$$\left(b_1q\right)\left(b_1q^{n-2}\right)=2{,}88,$$

$$b_1^2q^{n-1}=2{,}88,$$

$$q^{n-1}=\frac{2{,}88}{b_1^2}.$$

Из первого равенства:

$$b_1+b_1q^{n-1}=9{,}9,$$

$$b_1\left(1+q^{n-1}\right)=9{,}9,$$

$$b_1\left(1+\frac{2{,}88}{b_1^2}\right)=9{,}9,$$

$$b_1^2-9{,}9b_1+2{,}88=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=9{,}9^2-4\cdot 2{,}88=98{,}01-11{,}52=86{,}49,$$

$$\sqrt{D}=9{,}3.$$

Тогда

$$b_1=\frac{9{,}9-9{,}3}{2}=0{,}3 \quad \text{или} \quad b_1=\frac{9{,}9+9{,}3}{2}=9{,}6.$$

Если $$b_1=0{,}3,$$ то

$$q^{n-1}=\frac{2{,}88}{0{,}3^2}=\frac{2{,}88}{0{,}09}=32.$$

Если $$b_1=9{,}6,$$ то

$$q^{n-1}=\frac{2{,}88}{9{,}6^2}=\frac{2{,}88}{92{,}16}=\frac{1}{32},$$

что не подходит для возрастающей прогрессии. Значит, $$b_1=0{,}3.$$

Теперь используем формулу суммы:

$$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}=18{,}9.$$

Подставим $$b_1=0{,}3$$ и $$q^{n-1}=32$$, тогда $$q^n=32q$$:

$$\frac{0{,}3(32q-1)}{q-1}=18{,}9.$$

Умножим на $$q-1$$:

$$0{,}3(32q-1)=18{,}9(q-1),$$

$$32q-1=63(q-1),$$

$$32q-1=63q-63,$$

$$31q=62,$$

$$q=2.$$

Тогда

$$q^{n-1}=32=2^5,$$

следовательно,

$$n-1=5,$$

$$n=6.$$

Ответ

$$6$$