Упр.864 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
Найдите значение выражения: а) $$\left(0{,}125\cdot216\right)^{\frac{1}{3}}$$; в) $$\left(3\frac{3}{8}\right)^{\frac{1}{3}}$$; д) $$\left(21\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{3}}\cdot3^{\frac{1}{3}}$$; б) $$\left(256\cdot0{,}0016\right)^{\frac{1}{4}}$$; г) $$\left(39\frac{1}{16}\right)^{\frac{1}{4}}$$; е) $$\left(1\frac{17}{32}\right)^{\frac{1}{5}}\cdot\left(\frac{32}{49}\right)^{\frac{1}{5}}$$.
Докажите, что если числа $$a$$, $$b$$, $$c$$, $$d$$ составляют геометрическую прогрессию, то: а) $$\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2=\left(a-d\right)^2+\left(b-d\right)^2$$; б) $$\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2+c^2+d^2\right)=\left(ab+bc+cd\right)^2$$.
Пусть числа $$a, b, c, d$$ составляют геометрическую прогрессию. Тогда можно записать:
$$b=aq,\quad c=aq^2,\quad d=aq^3.$$
Проверим равенство
$$(a-c)^2+(b-c)^2=(a-d)^2+(b-d)^2.$$
Подставим выражения через $$q$$:
$$(a-aq^2)^2+(aq-aq^2)^2=(a-aq^3)^2+(aq-aq^3)^2.$$
Вынесем общий множитель:
$$a^2(1-q^2)^2+a^2q^2(1-q)^2=a^2(1-q^3)^2+a^2q^2(1-q^2)^2.$$
Раскроем скобки:
$$a^2\bigl(1-2q^2+q^4+q^2-2q^3+q^4\bigr) = a^2\bigl(1-2q^3+q^6+q^2-2q^4+q^6\bigr).$$
После упрощения обе части равны одному и тому же выражению, значит равенство верно.
Докажем равенство
$$(a^2+b^2+c^2)(a^2+c^2+d^2)=(ab+bc+cd)^2.$$
Подставим $$b=aq,\ c=aq^2,\ d=aq^3$$:
$$(a^2+a^2q^2+a^2q^4)(a^2+a^2q^4+a^2q^6) = (a\cdot aq+aq\cdot aq^2+aq^2\cdot aq^3)^2.$$
Вынесем множители:
$$a^2(1+q^2+q^4)\cdot a^2(1+q^4+q^6) = \bigl(a^2(q+q^3+q^5)\bigr)^2.$$
Так как
$$1+q^4+q^6=(1+q^2+q^4)q^2$$
и
$$q+q^3+q^5=q(1+q^2+q^4),$$
то левая часть равна
$$a^4q^2(1+q^2+q^4)^2,$$
и правая часть тоже равна
$$\bigl(a^2q(1+q^2+q^4)\bigr)^2=a^4q^2(1+q^2+q^4)^2.$$
Следовательно, равенство доказано.
Ответ
Оба равенства верны для любых четырёх последовательных членов геометрической прогрессии.
