Упр.864 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) (a-c)^2+(b-c)^2=(a-d)^2+(b-d)^2;
б) (a^2+b^2+c^2)(a^2+c^2+d^2)=(ab+bc+cd)^2.

Пусть числа $$a, b, c, d$$ составляют геометрическую прогрессию. Тогда можно записать:

$$b=aq,\quad c=aq^2,\quad d=aq^3.$$

1. Проверим равенство

   $$ (a-c)^2+(b-c)^2=(a-d)^2+(b-d)^2. $$

   Подставим выражения через $$q$$:

   $$ (a-aq^2)^2+(aq-aq^2)^2=(a-aq^3)^2+(aq-aq^3)^2. $$

   Вынесем общий множитель:

   $$ a^2(1-q^2)^2+a^2q^2(1-q)^2=a^2(1-q^3)^2+a^2q^2(1-q^2)^2. $$

   Раскроем скобки:

   $$ a^2\bigl(1-2q^2+q^4+q^2-2q^3+q^4\bigr) = a^2\bigl(1-2q^3+q^6+q^2-2q^4+q^6\bigr). $$

   После упрощения обе части равны одному и тому же выражению, значит равенство верно.

2. Докажем равенство

   $$ (a^2+b^2+c^2)(a^2+c^2+d^2)=(ab+bc+cd)^2. $$

   Подставим $$b=aq,\ c=aq^2,\ d=aq^3$$:

   $$ (a^2+a^2q^2+a^2q^4)(a^2+a^2q^4+a^2q^6) = (a\cdot aq+aq\cdot aq^2+aq^2\cdot aq^3)^2. $$

   Вынесем множители:

   $$ a^2(1+q^2+q^4)\cdot a^2(1+q^4+q^6) = \bigl(a^2(q+q^3+q^5)\bigr)^2. $$

   Так как

   $$ 1+q^4+q^6=(1+q^2+q^4)q^2 $$

   и

   $$ q+q^3+q^5=q(1+q^2+q^4), $$

   то левая часть равна

   $$ a^4q^2(1+q^2+q^4)^2, $$

   и правая часть тоже равна

   $$ \bigl(a^2q(1+q^2+q^4)\bigr)^2=a^4q^2(1+q^2+q^4)^2. $$

   Следовательно, равенство доказано.

Ответ

Оба равенства верны для любых четырёх последовательных членов геометрической прогрессии.