Упр.863 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 863. Докажите, что если знаменатель геометрической прогрессии равен (1+v5)/2, то каждый её член, начиная со второго, равен разности последующего и предыдущего членов.

Пусть $$q=\frac{1+\sqrt5}{2}$$ — знаменатель геометрической прогрессии. Тогда

$$b_n=b_1q^{\,n-1}, \quad b_{n+1}=b_1q^{\,n}, \quad b_{n-1}=b_1q^{\,n-2}.$$

Найдём разность соседних членов:

$$b_{n+1}-b_{n-1}=b_1q^n-b_1q^{\,n-2}=b_1q^{\,n-2}(q^2-1).$$

Чтобы это было равно $$b_n=b_1q^{\,n-1},$$ достаточно, чтобы выполнялось

$$b_1q^{\,n-2}(q^2-1)=b_1q^{\,n-1}.$$

Сокращая на $$b_1q^{\,n-2}$$, получаем

$$q^2-1=q,$$

то есть

$$q^2-q-1=0.$$

Проверим для $$q=\frac{1+\sqrt5}{2}:$$

$$q^2=\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^2=\frac{1+2\sqrt5+5}{4}=\frac{6+2\sqrt5}{4}=\frac{3+\sqrt5}{2},$$

тогда

$$q^2-1=\frac{3+\sqrt5}{2}-1=\frac{1+\sqrt5}{2}=q.$$

Значит,

$$b_{n+1}-b_{n-1}=b_n.$$

Следовательно, каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен разности последующего и предыдущего членов.

Ответ

$$b_n=b_{n+1}-b_{n-1}$$ для всех $$n\ge 2$$.