Упр.862 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 862. Докажите, что только последовательность равных чисел является одновременно арифметической и геометрической прогрессией.

Пусть последовательность $$x_1, x_2, x_3$$ одновременно является арифметической и геометрической прогрессией.

Тогда для геометрической прогрессии имеем:

$$x_2=x_1q,\quad x_3=x_1q^2,$$

а для арифметической прогрессии:

$$x_3-x_2=x_2-x_1.$$

Подставим выражения для $$x_2$$ и $$x_3$$:

$$x_1q^2-x_1q=x_1q-x_1.$$

Перенесём всё в одну сторону и вынесем общий множитель:

$$x_1q^2-2x_1q+x_1=0,$$

$$x_1(q^2-2q+1)=0,$$

$$x_1(q-1)^2=0.$$

Отсюда либо $$x_1=0$$, либо $$q=1$$.

Если $$q=1$$, то $$x_2=x_1$$ и $$x_3=x_1$$, то есть все члены последовательности равны.

Если $$x_1=0$$, то из $$x_2=x_1q$$ получаем $$x_2=0$$, а затем и $$x_3=0$$. Снова все члены последовательности равны.

Значит, только последовательность равных чисел может быть одновременно арифметической и геометрической прогрессией.

Ответ

Только последовательность равных чисел является одновременно арифметической и геометрической прогрессией.