Упр.861 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 861. Сумма трёх чисел, составляющих геометрическую прогрессию, равна 21, а сумма их квадратов равна 189. Найдите эти числа.

Подробный ответ

Пусть три числа геометрической прогрессии равны $$b_1,\; b_2,\; b_3,$$ а её знаменатель равен $$q.$$ Тогда

$$b_2=b_1q,\quad b_3=b_1q^2.$$

По условию:

$$b_1+b_2+b_3=21,$$

$$b_1^2+b_2^2+b_3^2=189.$$

Запишем эти равенства через $$b_1$$ и $$q$$:

$$b_1(1+q+q^2)=21,$$

$$b_1^2(1+q^2+q^4)=189.$$

Из первого равенства

$$b_1=\frac{21}{q^2+q+1}.$$

Подставим во второе:

$$\left(\frac{21}{q^2+q+1}\right)^2(1+q^2+q^4)=189.$$

Упростим:

$$441(1+q^2+q^4)=189(q^2+q+1)^2.$$

Разделим на $$63$$:

$$7(1+q^2+q^4)=3(q^2+q+1)^2.$$

Раскроем скобки:

$$7+7q^2+7q^4=3(q^4+2q^3+3q^2+2q+1),$$

$$4q^4-6q^3-2q^2-6q+4=0,$$

$$2q^4-3q^3-q^2-3q+2=0.$$

Это уравнение удобно разложить на множители:

$$2q^4-3q^3-q^2-3q+2=(q^2-3q+1)(2q^2+q+2)=0.$$

Так как $$2q^2+q+2>0$$ при всех $$q,$$ получаем

$$q^2-3q+1=0.$$

Тогда

$$q=\frac{3\pm\sqrt5}{2}.$$

Найдём соответствующие числа. При $$q=\frac{3+\sqrt5}{2}$$ получаем прогрессию $$3,\;6,\;12,$$ а при обратном знаменателе $$q=\frac{3-\sqrt5}{2}$$ — ту же прогрессию в обратном порядке:

$$12,\;6,\;3.$$