Упр.859 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 859. Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна 124, а их произведение равно 8000. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Пусть первый член геометрической прогрессии равен $$b_1$$, а знаменатель — $$q$$. Тогда

$$b_2=b_1q,\quad b_3=b_1q^2.$$

По условию произведение трёх первых членов равно $$8000$$:

$$b_1\cdot b_2\cdot b_3=b_1\cdot (b_1q)\cdot (b_1q^2)=b_1^3q^3=8000.$$

Отсюда

$$b_1q=\sqrt[3]{8000}=20,$$

значит,

$$b_1=\frac{20}{q}.$$

Теперь используем сумму первых трёх членов:

$$S_3=b_1+b_1q+b_1q^2=124.$$

Подставим $$b_1=\frac{20}{q}$$:

$$\frac{20}{q}(1+q+q^2)=124.$$

Умножим на $$q$$:

$$20(1+q+q^2)=124q,$$

$$20q^2-104q+20=0,$$

$$5q^2-26q+5=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=26^2-4\cdot 5\cdot 5=676-100=576,$$

$$q=\frac{26\pm 24}{10}.$$

Тогда

$$q_1=5,\quad q_2=\frac{1}{5}.$$

Найдём первый член:

при $$q=5$$

$$b_1=\frac{20}{5}=4,$$

при $$q=\frac{1}{5}$$

$$b_1=\frac{20}{1/5}=100.$$

Проверка показывает, что оба варианта подходят.

Ответ

$$b_1=4,\ q=5$$ или $$b_1=100,\ q=\frac{1}{5}.$$