Упр.858 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 858. Между числами a/b^2 и b/a^2, где a > 0, b > 0, вставьте пять чисел, которые вместе с данными числами составят геометрическую прогрессию.

Пусть первый член геометрической прогрессии равен $$b_1=\frac{a}{b^2},$$ а седьмой — $$b_7=\frac{b}{a^2}.$$

Тогда для знаменателя прогрессии $$q$$ имеем:

$$b_7=b_1q^6,$$

откуда

$$q^6=\frac{b_7}{b_1}=\frac{\frac{b}{a^2}}{\frac{a}{b^2}}=\frac{b^3}{a^3}.$$

Следовательно,

$$q^2=\frac{b}{a}, \qquad q=\pm\sqrt{\frac{b}{a}}.$$

Найдём промежуточные члены прогрессии:

$$b_2=b_1q=\frac{a}{b^2}\cdot \left(\pm\sqrt{\frac{b}{a}}\right)=\pm\frac{\sqrt{a}}{b\sqrt{b}},$$

$$b_3=b_2q=\pm\frac{\sqrt{a}}{b\sqrt{b}}\cdot \left(\pm\sqrt{\frac{b}{a}}\right)=\frac{1}{b},$$

$$b_4=b_3q=\frac{1}{b}\cdot \left(\pm\sqrt{\frac{b}{a}}\right)=\pm\frac{1}{\sqrt{ab}},$$

$$b_5=b_4q=\pm\frac{1}{\sqrt{ab}}\cdot \left(\pm\sqrt{\frac{b}{a}}\right)=\frac{1}{a},$$

$$b_6=b_5q=\frac{1}{a}\cdot \left(\pm\sqrt{\frac{b}{a}}\right)=\pm\frac{\sqrt{b}}{a\sqrt{a}}.$$

Итак, между данными числами можно вставить пять чисел:

$$\pm\frac{\sqrt{a}}{b\sqrt{b}},\ \frac{1}{b},\ \pm\frac{1}{\sqrt{ab}},\ \frac{1}{a},\ \pm\frac{\sqrt{b}}{a\sqrt{a}}.$$

Ответ

$$\pm\frac{\sqrt{a}}{b\sqrt{b}},\ \frac{1}{b},\ \pm\frac{1}{\sqrt{ab}},\ \frac{1}{a},\ \pm\frac{\sqrt{b}}{a\sqrt{a}}.$$