Упр.857 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 857. Пусть (a_n) — арифметическая прогрессия, (S_n) — последовательность сумм первых n её членов. Известно, что члены последовательности (a_n) изображаются в координатной плоскости точками, принадлежащими прямой y=3x-1. Напишите уравнение кривой, которой принадлежат точки, изображающие члены последовательности (S_n).

Так как точки последовательности $$a_n$$ лежат на прямой $$y=3x-1,$$ то при $$x=n$$ имеем

$$a_n=3n-1.$$

Найдём первые члены прогрессии:

$$a_1=3\cdot 1-1=2,$$

$$a_2=3\cdot 2-1=5.$$

Разность арифметической прогрессии:

$$d=a_2-a_1=5-2=3.$$

Сумма первых $$n$$ членов арифметической прогрессии равна

$$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n.$$

Подставим найденные значения:

$$S_n=\frac{2\cdot 2+3(n-1)}{2}\cdot n=\frac{4+3n-3}{2}\cdot n=\frac{3n+1}{2}\cdot n.$$

Следовательно,

$$S_n=\frac{3}{2}n^2+\frac{1}{2}n.$$

Значит, точки, изображающие члены последовательности $$S_n,$$ лежат на параболе

$$y=\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x.$$

Ответ

$$y=\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x.$$