Упр.856 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 856. В арифметической прогрессии S_6=m, S_12=p. Найдите S_15.

Для арифметической прогрессии

$$S_n=\frac{n}{2}\bigl(2a_1+(n-1)d\bigr).$$

Тогда

$$S_6=\frac{6}{2}(2a_1+5d)=3(2a_1+5d)=m,$$

$$S_{12}=\frac{12}{2}(2a_1+11d)=6(2a_1+11d)=p.$$

Вычтем из второго равенства первое, умноженное на 2:

$$S_{12}-2S_6=p-2m,$$

$$6(2a_1+11d)-6(2a_1+5d)=p-2m,$$

$$36d=p-2m,$$

$$d=\frac{p-2m}{36}.$$

Найдём $a_1$ из равенства $S_6=m$:

$$3(2a_1+5d)=m,$$

$$2a_1+5d=\frac{m}{3},$$

$$2a_1=\frac{m}{3}-5\cdot\frac{p-2m}{36}=\frac{12m-5p+10m}{36}=\frac{22m-5p}{36},$$

$$a_1=\frac{22m-5p}{72}.$$

Теперь найдём сумму первых 15 членов:

$$S_{15}=\frac{15}{2}(2a_1+14d)=15(a_1+7d).$$

Подставим найденные значения:

$$S_{15}=15\left(\frac{22m-5p}{72}+7\cdot\frac{p-2m}{36}\right).$$

Приведём к общему знаменателю:

$$S_{15}=15\left(\frac{22m-5p}{72}+\frac{14p-28m}{72}\right)=15\cdot\frac{9p-6m}{72}.$$

$$S_{15}=\frac{15p-10m}{8}.$$

Ответ

$$\frac{15p-10m}{8}$$