Упр.852 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

S_(n+3)-S_n=3(S_(n+2)-S(n+1)).

Пусть $$a_1$$ — первый член арифметической прогрессии, $$d$$ — разность. Тогда

$$S_n=\frac{n}{2}\bigl(2a_1+(n-1)d\bigr).$$

Найдём левую часть:

$$ S_{n+3}-S_n=\frac{n+3}{2}\bigl(2a_1+(n+2)d\bigr)-\frac{n}{2}\bigl(2a_1+(n-1)d\bigr) $$

$$ =\frac{(n+3)\bigl(2a_1+(n+2)d\bigr)-n\bigl(2a_1+(n-1)d\bigr)}{2} $$

$$ =\frac{2a_1n+6a_1+d(n^2+5n+6)-2a_1n-d(n^2-n)}{2} $$

$$ =\frac{6a_1+6d(n+1)}{2}=3a_1+3d(n+1). $$

Теперь найдём правую часть:

$$ 3\bigl(S_{n+2}-S_{n+1}\bigr) =3\left(\frac{n+2}{2}\bigl(2a_1+(n+1)d\bigr)-\frac{n+1}{2}\bigl(2a_1+nd\bigr)\right) $$

$$ =3\cdot \frac{(n+2)\bigl(2a_1+(n+1)d\bigr)-(n+1)\bigl(2a_1+nd\bigr)}{2} $$

$$ =3\cdot \frac{2a_1n+4a_1+d(n^2+3n+2)-2a_1n-2a_1-d(n^2+n)}{2} $$

$$ =3\cdot \frac{2a_1+2d(n+1)}{2}=3a_1+3d(n+1). $$

Обе части равны одному и тому же выражению, значит,

$$S_{n+3}-S_n=3\bigl(S_{n+2}-S_{n+1}\bigr).$$

Ответ

Доказано.