Упр.852 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Найдите значение функции $$y=x^{\frac{1}{4}}$$, если:
   а) $$x=1$$; б) $$x=16$$; в) $$x=\frac{16}{81}$$; г) $$x=3\frac{13}{81}$$.
2. Докажите, что в арифметической прогрессии $$S_{n+3}-S_n=3(S_{n+2}-S_{n+1})$$.

Пусть $$a_1$$ — первый член арифметической прогрессии, $$d$$ — разность. Тогда

$$S_n=\frac{n}{2}\bigl(2a_1+(n-1)d\bigr).$$

Найдём левую часть:

$$S_{n+3}-S_n=\frac{n+3}{2}\bigl(2a_1+(n+2)d\bigr)-\frac{n}{2}\bigl(2a_1+(n-1)d\bigr)$$

$$=\frac{(n+3)\bigl(2a_1+(n+2)d\bigr)-n\bigl(2a_1+(n-1)d\bigr)}{2}$$

$$=\frac{2a_1n+6a_1+d(n^2+5n+6)-2a_1n-d(n^2-n)}{2}$$

$$=\frac{6a_1+6d(n+1)}{2}=3a_1+3d(n+1).$$

Теперь найдём правую часть:

$$3\bigl(S_{n+2}-S_{n+1}\bigr) =3\left(\frac{n+2}{2}\bigl(2a_1+(n+1)d\bigr)-\frac{n+1}{2}\bigl(2a_1+nd\bigr)\right)$$

$$=3\cdot \frac{(n+2)\bigl(2a_1+(n+1)d\bigr)-(n+1)\bigl(2a_1+nd\bigr)}{2}$$

$$=3\cdot \frac{2a_1n+4a_1+d(n^2+3n+2)-2a_1n-2a_1-d(n^2+n)}{2}$$

$$=3\cdot \frac{2a_1+2d(n+1)}{2}=3a_1+3d(n+1).$$

Обе части равны одному и тому же выражению, значит,

$$S_{n+3}-S_n=3\bigl(S_{n+2}-S_{n+1}\bigr).$$

Ответ

Доказано.